离散数学第04章习题 (1)
第四章小结,本章是普通函数概念的推广，把函数看作是一种特殊的关系 4-1函数的概念 基本概念：函数，函数相等的定义，满射，入射，双射 重点 ：判断给定的关系是否为函数，证明两个函数相等，判断函数是否为满射、入射和双射。 4-2 逆函数和复合函数 基本概念：逆函数，复合函数，常函数，恒等函数 重点：逆函数的条件，复合函数的求法，复合函数的性质以及复合函数和逆函数组合运算的性质（定理4-2.34-2.7）。,P151 (2)令f : AB ，这里CA，证明 f(A)-f(C)f(A-C) 证明：设任意yf(A)-f(C) ，所以yf(A-C) 。由y的任意性可得f(A)-f(C)f(A-C)。,则存在某个xA ，使得f(x)=y，但对任意的zC 都有yf(z)，因此xA-C，又因f(x)=y ，,P151 (3)假设f和g是函数，且有f g和dom gdom f，证明f=g 证明：(1)因f g，所以若有f，则g，故dom fdom g。又因为dom gdom f，所以dom g=dom f(2)若f，则y=f(x)又f g，故g，也即y=g(x)f=|xdom f=|xdom g=g,利用函数相等的定义。 练习：看作关系，利用集合相等证明，g f,(8)假设f：AB并定义一个函数G：BP (A)，对于bB，有G(b)=xA|f(x)=b 证明：如果f是A到B的满射，则G是入射的。 证：因f是满射，则对bB，至少存在一个xA，使得f(x)=b， 又取b1，b2B且b1b2，则有 G(b1)=x1|x1Af(x1)=b1 G(b2)=x2|x2Af(x2)=b2 由b1b2得到f(x1)f(x2)，因为f是函数，所以 x1x2，故G(b1)G(b2)。,P156 3. 设fg是复合函数， 如果fg是满射的，则f是满射的；如果fg是入射的，则g是入射的； 证明：设g：XY，f：YZ，则fg是XZ的复合函数，且fg=f(g(x) a) 因为fg是满射，故对任意zZ，必有xX，使得f(g(x)=z，所以存在yY，使得y=g(x)，且f(y)=z，因此由满射定义可得f是满射的。 b) 因为fg是入射，故对任意x1，x2X，若x1x2，有f(g(x1)f(g(x2)，因为f是函数，所以g(x1)g(x2)，由入射定义可得g是入射。,P156 (4)试证若f：AB，g：BA，且gf=IA，fg=IB， 则g=f -1，且f=g-1。 证明：(1)先证f和g的逆存在xA，gf(x)=g(f(x)=IA(x)=x；若a1，a2A，且a1a2，有g(f(a1)g(f(a2)，所以f(a1)f(a2)，也即f是入射的；又xA，b使f(x)=b，满足g(b)=g(f(x)=x，故g是满射同理由f g=IB得g是入射的，f是满射的。故f和g是双射的，都存在逆函数。,(2)再证结论：g=f-1和f=g-1 因g：BA，f-1：BA， 故dom g=dom f-1=B 又对于bB，在A中存在唯一的a使得 f(a)=b，故有f-1(b)=a，g(b)=g(f(a)=gf(a)=IA(a)=a， 因此g(b)=f-1(b)，即g=f-1 类似证明f=g-1,P156(6)一个函数g：ST是称作函数f：TS的左逆，若tT，g(f(t)=t，若g是f的左逆，则f是g的右逆。 证明：(a)f：TS有一个左逆，当且仅当它是入射的。 证：1）若g：ST是f的一个左逆，则根据定义，若t1，t2T，且t1t2，则g(f(t1)g(f(t2) ，又g也是一个函数，所以f(t1)f(t2) ，故f是入射的2）若f是入射的，则构造函数g：ST使得 g(s)=t sf(T)，且f(t)=sg(s)=c sS-f(T)，且c为T的某一个元素上述构造的函数g：ST，满足g(f(t)=t，因此g是f的一个左逆综上1）2）所述,P156(6)一个函数g：ST是称作函数f：TS的左逆，若tT，g(f(t)=t，若g是f的左逆，则f是g的右逆 证明：(b)f：TS有一个右逆，当且仅当它是满射的 证：1）若g：S T是f的一个右逆，则跟据定义sS，g是一个函数，S为其定义域，所以tT，使得g(s)=t，也即f(t)= f(g(s)=s，因此f是满射的。2）若f是满射的，则sS满足f(t)=s的t为多个，设为t1，t2，tn，则构造函数g：ST使得g(s)=ti sS，且ti为满足f(ti)=s中的某一个，上述构造的函数g显然满足f(g(s)=s，因此g是f的一个右逆，综上1）2）所述,考研 1)已知：f是A到B的映射，g是B到C的映射 (1)若f与g是单射，则gf也是单射 证明：由f：AB和g：BC知，gf：AC， 即dom gf=A (1)x1, x2A且x1x2，因f是单射，有 f(x1)f(x2)， 又g是单射，故有g(f(x1)g(f(x2)，也即gf(x1)gf(x2)， 所以gf是单射的。,
