梅州中考 2005年至2013年压轴题

2005 年 已知，如图 10(甲)，正方形 ABCD 的边长为 2,点 M 是 BC 的中点,P 是线段 MC 上的一个动点, P 不运动到 M 和 C,以 AB 为直径做O，过点 P 作O 的切线交 AD 于点 F,切点为 E. （1）求四边形 CDFP 的周长； （2）试探索 P 在线段 MC 上运动时，求 AF·BP 的值； （3）延长 DC、FP 相交于点 G,连结 OE 并延长交直线 DC 于 H(如图乙),是否存在点 P, 使EFOEHG?如果存在,试求此时的 BP 的长;如果不存在,请说明理由。解（1）四边形 ABCD 是正方形A=B=90°, AF、BP 都是O 的切线, 又PF 是O 的切线FE=FA,PE=PB 四边形 CDFP 的周长为：AD+DC+CB=2×3=6 (2 ) 连结 OE,PF 是O 的切线 OEPF.在 RtAOF 和 RtEOF 中,AO=EO,OF=OF RtAOFRtEOF AOF=EOF,同理BOP=EOP,EOF+EOP=180°=90°,FOP=90°1 2即 OFOP，AF·BP=EF·PE=OE2=1 (3 )存在。EOF=AOF,EHG=AOE=2EOF, 当EFO=EHG=2EOF, 即EOF=30°时,RtEFORtEHG 此时,EOF=30°, BOP=EOP=90°-30°=60°BP=OB·0tan603规律题如图 3，已知的周长为，分别连接ABCmABBCCA，的中点得，再连接的中点111ABC，111ABC111111ABBCC A，得，再连接的中点222ABC，222A B C222222A BB CC A，得，这样延续下去，最后得333ABC，333A B C L LnnnA B C设的周长为，的周长为，的周长为， 111ABC 1l222A B C2l333A B C3l L LnnnA B C图 10ACB1C2C1A2A3A2B3C3B1B图 3的周长为，则 nlnl 2006 年1、用两个全等的正方形和拼成一个矩形，把一个足够大的直角三角尺ABCDCDFEABEF 的直角顶点与这个矩形的边的中点重合，且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转AFDD（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形的两边相交于点时，如图ABEFBEEF，GH，甲，通过观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论8BGEH（2）当直角三角尺的两直角边分别与的延长线，的延长线相交于点时（如BEEFGH，图乙） ，你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由88解：（1） 2 分BGEH四边形和都是正方形，QABCDCDFE，90DCDFDCGDFHFDC o，3 分90CDGCDHCDHFDHCDGFDH oQ，CDGFDH， 4 分CGFH 5 分BCEFBGEHQ，（2）结论仍然成立 6 分BGEH同理可证，CDGFDH 8 分CGFHBCEFBGEHQ，2、如图 9，直线 的解析式为与轴，轴分别交于点l443yxl ，xyAB，（1）求原点到直线 的距离；Ol（2）有一个半径为 1 的从坐标原点出发，以每秒 1 个单位长的速度沿轴正方向运动，Cey设运动时间为 （秒） 当与直线 相切时，求 的值tCeltABGCEHFD图甲8ABGCEHFD图乙8BCDlyOxC DA解：（1）在中，令，得，得443yx0x 4y 4BO 令，得，得，0y 3x 3AO 2 分225ABAOBO设点到直线的距离为，OABh，11 22AOBSAO BOAB hQgg 4 分2.4AO BOhABg（其它解法参照给分）（2）如图，设与直线 相切于点，连，则， 5 分CelDCDCDAB，90AOBOBDCBOA oQ，ABOCBD Q6 分BCCDABOCBDABAO，由（1）得，345AOBOAB，1557453333BCBCOC，（秒） 8 分7 3tCO 根据对称性得，5 3BCBC （秒） 9 分517174333OCtOC ，当与直线 相切时，秒或秒10 分Cel7 3t 17 33、如图 10，点在抛物线上，过点作与轴平行的直线交抛物线于点，延长A21 4yxAxB分别与抛物线相交于点，连接，设点的横坐标为，AOBO，21 8yx CD，ADBC，Am且0m （1）当时，求点的坐标；1m ABD，（2）当为何值时，四边形的两条对角线互相垂直；mABCD （3）猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论ABCDBOCAlxy图 9A xyBCO D图 10解：（1）点在抛物线上，且，1 分QA21 4yx1xm114A，点与点关于轴对称，2 分QBAy114B，设直线的解析式为，BDykx 3 分11 44kyx ，解方程组，得 4 分21 4 1 8yxyx 122D，（2）当四边形的两对角线互相垂直时，由对称性得直线与轴的夹角等于所ABCDAOx45o以点的纵、横坐标相等，5 分A这时，设，代入，得，()A aa，21 4yx4a (4 4)4Am，即当时，四边形的两条对角线互相垂直 7 分4m ABCD （3）线段 8 分2CDAB点在抛物线，且，QA21 4yx21 4xmA mm，得直线的解析式为，AO4myx解方程组，得点9 分24 1 8myxyx 2122Cmm，由对称性得点，10 分221122BmmDmm，4，24ABmCDm， 11 分2CDAB2007 年如图 12，直角梯形中，动点ABCD90643ABCDAABADDC，°，ABCDPQ 图 12从点出发，沿方向移动，动点从点出发，在边上移动设点PAADCBQAAB移动的路程为，点移动的路程为，线段平分梯形的周长PxQyPQABCD（1）求与的函数关系式，并求出的取值范围；yxxy，（2）当时，求的值；PQACxy，（3）当不在边上时，线段能否平分梯形的面积？若能，求出此时的值；PBCPQABCDx若不能，说明理由解：（1）过作于，则，可得，CCEABE34CDAECE，5BC 所以梯形的周长为 18 1 分ABCD平分的周长，所以， 2 分PQABCD9xy因为，所以，06y39x所求关系式为：3 分9 39yxx ，（2）依题意，只能在边上，PBC79x，126PBxBQy，因为，所以，所以，得 4 分PQACBPQBCABPBQ BCBA，即，126 56xy6542xy解方程组 得 6 分9 6542xy xy ，8712 1111xy，（3）梯形的面积为 18 7 分ABCD当不在边上，则，PBC37x（）当时，在边上，a34x PAD1 2APQSxy如果线段能平分梯形的面积，则有8 分PQABCD192xy 可得：解得（舍去） 9 分9 18.xy xy ，3 6x y ， ；63xy，（）当时，点在边上，此时b47xPDC14(4)2ADPQSxy如果线段能平分梯形的面积，则有，PQABCD14(4)92xy可得此方程组无解9 2217.xy xy ，QBCDPA所以当时，线段能平分梯形的面积 11 分3x PQABCD2008 年 如图 11 所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为 轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系xy （1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L （3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点 P的坐标，只需说明理由）（1） DCAB，AD=DC=CB， CDB=CBD=DBA， 0.5 分QDAB=CBA， DAB=2DBA， 1 分DAB+DBA=90 ， DAB=60 ， 1.5 分ooDBA=30 ，AB=4， DC=AD=2， 2 分oQRtAOD，OA=1，OD=，2.5 分3A（-1，0） ，D（0， ） ，C（2， ） 4 分33（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点 A（1，0） ，B（3，0） ， 故可设所求为 = （+1） （ -3） 6 分yaxx将点D（0， ）的坐标代入上式得， =3a33所求抛物线的解析式为 = 7 分y).3)(1(33xx其对称轴L为直线=18 分x （3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况： 因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B， P1DB为等腰三角形； 9 分 因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形； 与同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5 10 分 由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有 5 个。 ·······11 分 2009 年如图 12，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分L(01)A ，(10)B ，PxOP线交于点，交轴于