郑州大学概率论与数理统计课程 第4.4章 大数定律

4.4 大数定律与中心极限定理,本章要解决的问题,为何能以某事件发生的频率作为该事件的 概率的估计？,为何能以样本均值作为总体期望的估计？,为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？,大样本统计推断的理论基础是什么？,答复,大数 定律,中心极 限定理,设非负 r.v. X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数 > 0,证 仅证连续型 r.v.的情形,§4.4.1 大数定律,§4.4.1,设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k) 存在，则对于任意实数 > 0,推论 1,设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 > 0,推论 2 切贝雪夫( chebyshev)不等式,或,当 2 D(X) 无实际意义,马尔可夫 ( Markov ) 不等式,大数定律,伯努利（Bernoulli） 大数定律,设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则,有,或,大数定律,证 引入 r.v. 序列Xk,设,则,相互独立，,记,由 Chebyshev 不等式,故,在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率,“ 稳定于”事件 A 在一次试验中 发生的概率是指：,小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.,伯努利(Bernoulli)大数定律的意义,在 Bernoulli 定理的证明过程中，Y n 是相互独立的服从 (0 , 1) 分布的 r.v. 序列 Xk 的算术平均值, Y n 依概率收敛于 其数学期望 p .,结果同样适用于服从其它分布的独立 r.v. 序列,Chebyshev 大数定律,(指任意给定 n > 1, 相互独立) 且具有相同的数学期望和方差,或,定理的意义,当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.,具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.,近似代替,可被,注2,注1,有,互独立具有相同的分布，且,记,注3,则,则,Ch5-14,§4.4.2,§4.4.2 中心极限定理,定 理 一,林德伯格-列维中心极限定理, 独立同分布的中心极限定理 ,定 理 二,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, 二项分布以正态分布为极限分布 ,(Lindberg-levi),(De Moivre-Laplace),Ch5-15,Lindberg-levi 独立同分布 的中心极限定理,设随机变量序列,独立同一分布, 且有期望和方差：,则对于任意实数 x ,定理 1,Ch5-16,注,即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数,记,近似,近似服从,Ch5-17,中心极限定理的意义,在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布,若联系于此随机现象的随机变量为X ，,是由于许多彼次没有什么相依关,系、对随机现象谁也不能起突出影响，而,均匀地起到微小作用的随机因素共同作用,则它可被看成为许多相互独立的起微小作,用的因素Xk的总和 ，而这个总和服从,或近似服从正态分布.,(即这些因素的叠加)的结果.,Ch5-18,对此现象还 可举个有趣 的例子,高尔顿钉板 试验 加 以说明., 钉子层数,高尔顿钉板,Ch5-19,德莫佛拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace ）,设 Y n B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,则对任一实数 x，有,即对任意的 a < b,Y n N (np , np(1-p) (近似),定理2,