郑州大学概率论与数理统计课程 概率的简介

1,一. 概率统计的研究对象,A. 太阳从东方升起； B.上抛物体一定下落； C. 明天的最高温度； D. 新生婴儿的体重.,随机现象,确定性现象,2,在我们所生活的世界上， 充满了随机性,从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着随机性.,概率统计的研究对象,3,二.概率统计的研究内容,随机现象的统计规律性,随机现象是不是没有规律可言?,否！,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.,4,从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律. 这种随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.,概率统计的研究内容,5,三.概率统计的应用,经济管理,保险金融,生物医药,天气预报,确定性现象,随机现象 ,每次试验前不能预言出现什么结果每次试验后可能出现的结果不止一个在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性,§1.1 随机事件,对某事物特征进行观察, 统称试验.,若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示,试验前不能预知出现哪种结果,1.1,可在相同的条件下重复进行,试验结果不止一个,但能明确所有的结果,样本空间 随机试验E 所有可能的结果,样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为,随机事件 的子集, 记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.,组成的集合称为样本空间 记为,样本点(or基本事件) 常记为 ， = ,Ch1-9,§1.2 概率的定义及计算,§1.2 概率定义计算,历史上概率的三次定义, 公理化定义, 统计定义, 古典定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,Ch1-10,概率的 统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越,小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点：直观易懂,缺点：粗糙模糊,不便 使用,Ch1-11,设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：,非负性：,归一性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件，,概率的 公理化定义,公理化定义,Ch1-12,设 随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,概率的 古典定义,古典概型,Ch1-13,若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不,会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.,小概率原理,小概率原理,( 即实际推断原理 ),Ch1-14,事件 A发生与否对 B 发生的概率没有 影响可视为事件A与B相互独立,定义,设 A , B 为两事件，若,则称事件 A 与事件 B 相互独立,15,Ch1-16,柯尔莫哥洛夫,( A. H. 1903-1987 ),1939年任苏联科学 院院士.先后当选美,法, 意,荷,英,德 等国的外籍 院士 及皇家学会会员. 为 20 世纪最有影响的俄 国数学家.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫,Ch1-17,柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一 系列重要分支作出重大贡献.,他建立了在测度论基础上的概率论 公理系统, 奠定了近代概率论的基础.,他又是随机过程论的奠基人之一, 其主要工作包括:,20年代 关于强大数定律、重对数 律的基本工作;,Ch1-18,1933年在概率论的基本概念 一文中提出的概率论公理体系(希尔伯 特第6问题),30年代建立的马尔可夫过程的两 个基本方程;,用希尔伯特空间的几何理论建立 弱平稳序列的线性理论;,40年代完成独立和的弱极限理论, 经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;,Ch1-19,在动力系统中开创了关于哈密顿系 统的微扰理论与K系统遍历理论;,50年代中期开创了研究函数特征的,信息论方法, 他的工作及随后阿诺尔德,的工作解决并深化了希尔伯特第13问题,用较少变量的函数表示较多变量的 函数 ;,60年代后又创立了信息算法理论;,Ch1-20,1980年由于它在调和分析, 概率论, 遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作 获沃尔夫奖;,他十分重视数学教育,在他的指引 下,大批数学家在不同的领域内取得重 大成就.其中包括.M.盖尔范德,B. 阿诺尔德, .西奈依等人.,他还非常重视基础教育, 亲自领导 了中学 数学教科书的编写工作.,伯努利 Jacob Bernoulli1654-1705瑞士数学家,概率论的奠基人,伯努利,Ch1-23,1713年出版的巨著推测术,是 组合数学及概率史的一件大事.书中给 出的伯努利数、伯努利方程、伯努利 分布等, 有很多应用, 还有伯努利定理, 这是大数定律的最早形式.,24,Ch2-25,随,第,二,章,机,量,变,其,及,分,布,第二章,Ch2-26,为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果.,例 电脑寿命可用一个连续变量 T 来描述.,例 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散变量来描述,Ch2-27,§2.1 随机变量及其分布函数,设 是试验E的样本空间, 若,则称 X ( ) 为 上的 随机变量,r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写希腊字母 , , 表示.,定义,§2.1,简记 r.v. X .,Ch2-28,此映射具有如下特点,Ch2-29, 表示 “某天9:00 10:00 接到电话次数超过100次” 这一事件,为事件A 的示性变量,Ch2-30,离散型,非离散型,r.v. 分类,引入 r.v. 重要意义, 任何随机现象可被 r.v.描述, 借助微积分方法将讨论进行到底,Ch2-31,为 X 的分布函数.,设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数,定义,用分布函数计算 X 落在( a ,b 里的概率：,分布函数,Ch2-32,分布函数的性质,F ( x ) 单调不减，即,且,F ( x ) 右连续，即,33,Ch2-34,§2.2离散型随机变量及其概率分布,定义,若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,§2.2,Ch2-35,分布律的性质,X ,或,Ch2-36,F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .,其中 .,Ch2-37,1,Ch2-38,(1) 0 1 分布,是否超标等等.,凡试验只有两个结果, 常用0 1,分布描述, 如产品是否合格、人,口性别统计、系统是否正常、电力消耗,0 < p < 1,或,Ch2-39,(2) 二项分布(Binomial distribution),n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若,则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作,01 分布是 n = 1 的二项分布,Ch2-40,Ch2-41,Ch2-42,Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式,问题 如何计算 ？,Ch2-43,证,记,Ch2-44,(3) Poisson 分布,若,的Poisson 分布.,Ch2-45,在某个时段内：,大卖场的顾客数；,某地区拨错号的电话呼唤次数；,市级医院急诊病人数；,某地区发生的交通事故的次数., ,一个容器中的细菌数；,一本书一页中的印刷错误数；,一匹布上的疵点个数；, ,放射性物质发出的 粒子数；,Ch2-46,都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质 点数 Xt P ( t ),47,Ch2-48,§2.3 连续型随机变量,定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得,其中F ( x )是它的分布函数,则称 X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简记为d.f.,§2.3 连续,Ch2-49,分布函数与密度函数几何意义,Ch2-50,p.d.f. f ( x )的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f.,在 f ( x ) 的连续点处，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率,Ch2-51,积分,几乎处处可导,Ch2-52,注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0,其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值,命题 连续r.v.取任一常数的概率为零,强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生),事实上,Ch2-53,对于连续型 r.v. X,Ch2-54,Ch2-55,(1) 均匀分布,若 X 的 d.f. 为,则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称,X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作,均匀分布,Ch2-56,X 的分布函数为,Ch2-57,Ch2-58,即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的 概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比. 这正是几何概型的情形.,Ch2-59,(2) 指数分布,若 X 的d.f. 为,则称 X 服从 参数为 的指数分布,记作,X 的分布函数为, > 0 为常数,指数分布,Ch2-60,Ch2-61,对于任意的 0 < a < b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布 常作为各种“寿命”分布的近似,Ch2-62,若 X (),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,年轻,Ch2-63,(3) 正态分布,若X 的 d.f. 为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,正态分布,亦称高斯 (Gauss)分布,Ch2-64,N (-3 , 1.2 ),Ch2-65,f (x) 的性质：,图形关于直线 x = 对称, 即,在 x = 时, f (x) 取得最大值,在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的 点处有拐点,曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状,f ( + x) = f ( - x),性质,Ch2-66,Ch2-67,f ( x) 的两个参数：, 位置参数,即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x) 的形状不变化，只是位置不同, 形状参数,固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.,若 1< 2 则,比x= 2 所对应的拐点更靠近直线 x=,附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点,前者取 ,Ch2-68,Showfn1,fn3,Ch2-69,