3.3.1 函数的单调性与导数
33 导数的应用,3.3.1 函数的单调性与导数,1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系; 2.能够利用导数研究函数的单调性; 3.会求函数的单调区间.,1.利用导数研究函数的单调性,求函数的单调区间(重点) 2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系(难点) 3.常与方程、不等式等结合命题.,研究股票时,我们最关心的是股票曲线的发展趋势(走高或走低),以及股票价格的变化范围(封顶或保底)从股票走势曲线图来看,股票有升有降我们知道,可以用导数来研究股票走势曲线的变化趋势 那么,如何用导数来研究函数的单调性呢?,用函数的导数判断函数单调性的法则 设函数yf(x)在区间(a,b)内可导, (1)如果在(a,b)内,f(x)0,则f(x)在此区间是增函数; (2)如果在(a,b)内,f(x)0,则f(x)在此区间是减函数,上述结论可用图来直观理解,1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是( ) A(,2) B(0,3) C(1,4) D(2,) 解析: f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex, 令f(x)0,解得x2.故选D. 答案: D,答案: C,求下列函数的单调区间 (1)f(x)xx3; (2)f(x)sin xcos xx1,x(0,2),策略点睛,题后感悟 (1)如何利用导数判断或证明函数的单调性? 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式f(x)0(f(x)0)在给定区间上恒成立一般步骤为:求导数f(x);判断f(x)的符号;给出单调性结论 (2)注意事项: 如果出现个别点使f(x)0,不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性,2.已知a0,且a1,证明函数f(x)axxln a在(,0)内是减函数 证明: f(x)axln aln aln a(ax1),x1时,ln a0,ax1,f(x)0, 即f(x)在(,0)内是减函数 综上,函数f(x)在(,0)内是减函数,若函数f(x)ax3x2x5在R上单调递增,求实数a的取值范围,(2)注意事项: 一般地,最后要检验参数的取值能否使f(x)恒等于0.若f(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f(x)0,则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数取值范围为最后解 (3)三次函数与二次函数的关系是什么? 在导数的应用中,三次函数是常见的一种函数,在二次函数的基础上,应了解三次函数的图象和一些性质一般地,三次函数的图象是一个“双峰”的曲线,它的导函数是一个二次函数;三次函数的单调区间的端点就是它的导函数的零点,也就是相应方程的根,1函数的单调性与导数 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 (2)一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间 (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间中间不能用“”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开,(4)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件,而不是充要条件(例如f(x)x3) (5)如果函数在某个区间内恒有f(x)0,则f(x)为常数函数如f(x)3,则f(x)30. (6)利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用,它充分体现了数形结合思想 (7)若在某区间上有有限个点使f(x)0,在其余的点恒有f(x)0,则f(x)在该区间上仍为增函数,特别提醒 若无穷多个点使f(x)0,那么这些点必须是离散的,不能构成区间,2求函数的单调区间的方法 求函数的单调区间,就是解不等式f(x)0或f(x)0,这些不等式的解就是所求的单调区间 求函数单调区间的步骤如下: (1)求f(x)的定义域; (2)求出f(x); (3)解不等式f(x)0(或f(x)0)可得函数的增区间(或减区间),3判断函数的单调性的方法 判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法: (1)求f(x)的定义域; (2)求出f(x)在(a,b)内的符号; (3)作出结论,4利用函数单调性讨论有关参数 求函数yf(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f(x)0,f(x)0所得的x的取值集合反过来,若已知f(x)在区间D上单调递增,求f(x)中的参数值怎么办?这类问题往往转化为不等式的恒成立问题:即f(x)0在D上恒成立,求f(x)中的参数值,并验证f(x)在D上不恒为0.,求函数f(x)2x2ln x的单调区间,练考题、验能力、轻巧夺冠,