弹性力学与有限元教学课件第2章 弹性力学基础知识

1,第二章 弹性力学基本知识,2,学习目标,了解弹性力学的基本假设； 掌握弹性力学的基本概念； 掌握弹性力学问题的实质及其基本方程之间关系； 了解边界上的位移和应力边界条件的建立，及圣维南原理的应用； 了解虚位移原理； 掌握强度理论选用原则。,3,由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。 根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使研究的问题限制在一个方便可行的范围之内。 基本假设是弹性力学讨论问题的基础。超出基本假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。,基本假设的必要性,2.1 弹性力学基本假设,4,假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。 变形后仍然保持这种连续性。 根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。 是宏观假设，微观上这个假设不可能成立。固体材料都是由微粒组成工程材料内部的缺陷,2.1 弹性力学基本假设,1. 连续性假设,5,假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。 物体的弹性性质处处都是相同的。 根据这个假设，在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论，然后将分析结果应用于整个物体。 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。,2.1 弹性力学基本假设,2. 均匀性假设,6,2.1 弹性力学基本假设,3.各向同性假设,假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。 对于由晶体构成的金属材料，由于单晶体是各向异性的，微观上显然不是各向同性的。但是由于晶体尺寸极小，而且排列是随机的，因此宏观上，材料性能是显示各向同性。 当然，像木材、竹材以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。,7,2.1 弹性力学基本假设,4.完全弹性假设,对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。 完全弹性分为线性和非线性弹性，这里弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。这就是说，弹性力学问题研究在胡克定律成立的条件之下。 完全弹性假设使研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。,8,2.1 弹性力学基本假设,5.小变形假设,假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。 在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。 忽略应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的代数方程和微分方程。,9,2.1 弹性力学基本假设,6.无初应力假设,假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。 弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。,10,2.1 弹性力学基本假设,弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。 这些假设都是关于材料变形的宏观假设。 弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。 这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。,11,2.2 弹性力学基本概念,外力（Load) 内力和应力（Stress) 位移（Displacement） 应变（Strain) 主应力（principal stress）和主平面（principal plane),12,1、外力(Load),外力分为：体积力(Body Force)表面力(Surface Force) 体力是作用于物体内部各个质点上的力:例如物体的重力，惯性力，电磁力等； 面力是作用于物体表面的作用力:例如风力，静水压力，物体之间的接触力等； 面力和体力大小用集度表示，即分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。,13,1.体力矢量大小和方向？2.体力分量？3.量纲？,1、外力：体力,一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。,14,1.面力矢量大小和方向？2.面力分量？3.量纲？,1、外力：面力,面力是表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。,15,2、内力与应力,1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？,受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，假想用一截面截开物体，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。,为物体在该截面上M点的应力。,过M点取截面的一部分，面积为S，作用于其上的内力为F ，平均集度为F/S，其极限为,16,2、内力与应力,1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？,应力矢量Pn的方向由内力矢量F确定，同时受S方位变化的影响。通常将应力沿截面的法线和切线方向分解为:,正应力n,切应力n,应力必须说明其坐标和作用面的方位。,17,2、内力与应力,1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？,应力分量 应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，称为张量。 在任意坐标系都具有协变性的量就是张量。 取一点平行于坐标平面的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分量称为应力分量。,18,2、内力与应力,1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？,应力符号第一下标表示所在的平面，第二下标表示沿坐标轴的方向。,符号规定： 正面：单元体面的外法线与坐标轴同向 负面：单元体面的外法线与坐标轴反向,在正面上，应力分量与坐标轴同向为正，反向为负。在负面上相反。,19,正应力用字母表示。为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个下标，例如：正应力x是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。 切应力用字母表示，并加上两个下标，前一个下标表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个下标表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如：切应力xy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。,20,图示单元体面为负面 在法线为y的负面上，正应力记为y，沿y轴负向为正，切应力yx、yz，沿x轴、z轴的负向为正。,2、内力与应力,1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？,21,2、内力与应力,1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？,点的应力状态：一点所有截面的应力矢量的集合,取一个微小的六面体：,独立应力分量：,22,2、内力与应力,例1 矩形薄板，板上受面力 时， ；时， ；试绘出面力的方向。,例2 矩形薄板，板受面力如图示，试写出边界条件。,力的概念举例,23,2、内力与应力,例3 已知单元体各面上的应力分量，试在单元体上标出方向与数值。,力的概念举例,24,3、位移,1.位移分量？,物体内部各点空间位置发生变化 M(x,y,z) > M(x,y,z) 位移：刚体位移变形位移 点的位移矢量:,点的位移是坐标的单值连续函数。,25,4、应 变,1.正应变？2.切应变？3.如何表示？,应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关。,26,O点应力状态： 斜截面的法线方向余弦：,1）任意斜截面上的应力,设S为ABC的面积，则OBC=lSOCA=mSOAB=nS 设h为O点至斜面ABC的高， ABC的法线方向的单位矢量可表示为 ：N= l i+ m j + n k,5.主应力与主平面,27,5.主应力与主平面,1）任意斜截面上的应力,微四面体在应力矢量和体积力作用下满足平衡条件，由x方向的平衡可得：,对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，为趋近于零的极小量，因此,同理,28,5.主应力与主平面,2）主平面、应力主方向与主应力,1）切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 2）主平面的法线称为应力主轴或者应力主方向。 3）主平面上的正应力称为主应力。,29,5.主应力与主平面,2）主平面、应力主方向与主应力,设过点O与坐标轴倾斜的微分面ABC为主平面，其法线方向N的三个方向余弦分别为l，m，n，微分面上的应力矢量 Pn，即主应力的三个分量为 px, py, pz。,根据主平面的定义，应力矢量 Pn 的方向应与法线方向N一致，设Pn 为主应力，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为 px = Pn l, py = Pn m, pz = Pn n,30,5.主应力与主平面,2）主平面、应力主方向与主应力,px = Pnl, py = Pnm, pz = Pnn,方程组有 非零解的条件,求解主应力,31,5.主应力与主平面,2）主平面、应力主方向与主应力,特征方程,应力张量元素构成的行列式 主对角线元素之和,应力张量第一不变量,行列式按主对角线展开的三个代数主子式之和,应力张量第二不变量,应力张量第三不变量,32,5.主应力与主平面,2）主平面、应力主方向与主应力,求解主应力,说明： 1、受外力处于平衡的结构内，任意点有三个主应力，且主平面相互垂直。 、主应力值和方向只取决于受力状态，与选取的坐标系无关。 、所有截面中，规定,解得的三个实数根即为三个主应力，将主应力代入方程组，可得三个主方向。,33,2.3 弹性力学基本方程,平衡微分方程 几何方程 变形协调方程 物理方程,34,1.平衡微分方程,外力和应力关系,平衡 物体整体平衡，内部任意部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论一点的平衡。 微分平行六面体单元,35,平衡微分方程解释,微小六面体边长 dx, dy, dz 单元体的体力 X, Y, Z 应力分量是位置坐标的函数，所以,36,平衡微分方程示意图,37,平衡微分方程,静力平衡条件平衡微分方程,Navier方程,38,2、几何方程,应变和位移关系,微六面体：MA=dx MB=dy MC=dz,39,2、几何方程,应变和位移关系,a点的位移,b点的位移,40,2、几何方程,应变和位移关系,切应变与位移：,因此,41,2、几何方程,应变和位移关系,空间几何方程：,由几何方程可知，已知位移函数u, v, w，则该点应变分量确定。 但是，应变分量确定，无法求出位移分量。,42,3、变形协调方程,设 ex =3x,ey =2y,gxy =xy,ez =gxz =gyz =0,求其位移。,显然该应变分量没有对应的位移。 要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。,解：,43,变形协调方程也称变形连续方程，或相容方程。描述六个应变分量之间所存在的关系式。 同一平面内的正应变与切应变之间的关系（3个）：从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得,3、变形协调方程,44,不同平面内的正应变与切应变之间的关系(3个）： 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则,3、变形协调方程,对x求一阶偏导数，则,45,3、变形协调方程,变形协调方程的数学意义 使以3个位移为未知函数的6个几何方程不相矛盾。 变形协调方程的物理意义 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足的关系。,46,4、物理方程,应变和应力关系,应力应变关系属于材料性能。 称为物理方程或者本构方程。 单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定：单向拉伸实验可以测出弹性模量E薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G 复杂应力状态难以直接通过实验确定。,