高中物理竞赛中高等数学

第1页 共21页高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此经常遇到的物理量大多数是变量，而要研究的正是一些变量彼此间的联 系这样，微积分这个数学工具就成为必要的了考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初 步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本 的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要至于 更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，可在通过高等数学课程的学习去完成§1函数及其图形函数及其图形11 函数函数 自变量和因变量自变量和因变量 绝对常量和任意常量绝对常量和任意常量 在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量 x 和 y，如果每当变量 x 取定了某个数值后，按照一 定的规律就可以确定 y 的对应值，那么称 y 是 x 的函数，并记作：y=f(x)，（A1）；其中 x 叫做自变量，y 叫做因 变量，f 是一个函数记号，它表示 y 和 x 数值的对应关系有时把 y=f(x)也记作 y=y(x)如果在同一个问题中遇到几 个不同形式的函数，也可以用其它字母作为函数记号，如 (x)、(x)等等常见的函数可以用公式来表达，例如，等等( )32yf xx21 2axbxc xcos2 xln xxe在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面出现的和等，它们叫13 2 2e、abc、做常量；常量有两类：一类如等，它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对13 2 2e、常量；另一类如 a、b、c 等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量在数学中经常用拉丁 字母中最前面几个（如 a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量 当 y=f(x)的具体形式给定后，就可以确定与自变量的任一特定值 x0相对应的函数值 f(x0)例如： （1）若 y=f(x)=3+2x，则当 x=-2 时 y=f(-2)=3+2×(-2)=-1一般地说，当 x=x0时，y=f(x0)=3+2x0（2）若，则当时，( )cyf xx 0xx0 0()cf xx12 函数的图形函数的图形 在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数 关系，这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的作图的办法是 先在平面上取一直角坐标系，横轴代表自变量 x，纵轴代表因变量（函数值） y=f(x)这样一来，把坐标为（x，y）且满足函数关系 y=f(x)的那些点连接起来 的轨迹就构成一条曲线，它描绘出函数的面貌图 A-1 便是上面举的第一个例 子 y=f(x)=3+2x 的图形，其中 P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为：（-2，- 1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线图A-2 是第二个例子的图形，其中 P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标( )cyf xx分别为：、，各点连接成双曲线的一支1( ,4 )4c1( ,2 )2c(1, )c(2, )2c(4, )4c13 物理学中函数的实例物理学中函数的实例 反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的下面举几个例子 （1）匀速直线运动公式：s=s0vt（A2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置 s 随时间 t 变化的规律，在这里 t 相当于自变量 x，s 相当于因变量 y，s 是 t 的函数因此记作：s=s(t)s0vt，（A3） 式中初始位置 s0和速度 v 是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v 对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于 不同的匀速直线运动可以取不同的值图 A-3 是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线易知它的斜率等于 v第2页 共21页（2）匀变速直线运动公式：，（A4），v=v0at（A5）两式中 s 和 v 是因变量，它们都是自2 001 2ssv tat变量 t 的函数，因此记作：，（A6），v=v(t)=v0at，（A7）2 001( )2ss tsv tat图 A-4a、4b 分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线（A6）和（A7）式是匀变速直线运 动的普遍公式，式中初始位置 s0、初速 v0和加速度 a 都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问题来具体化 例如在讨论自由落体问题时，若把坐标原点选择在开始运动的地方，则 s00，v00，ag9.8Ms2，这时（A6）和（A7）式具有如下形式：,（A8）；vv(t)gt（A9）；这里的 g 可看作是绝对21( )2ss tgt常量，式中不再有任意常量了 （3）玻意耳定律：PVC（A10） 上式表达了一定质量的气体，在温度不变的条件下，压强 P 和体积 V 之间的函数关系，式中的 C 是任意常量可以选择 V 为自变量，P 为因变量，这样，（A10）式就可写作：，（A11）( )CPP VV它的图形和图 A-2 是一样的，只不过图中的 x、y 应换成 V、P在（A10）式中也可以选择 P 为自变量，V 为因变量，这样它就应写成：，（A12）( )CVV PP由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的 （4）欧姆定律：（A13）UIR当讨论一段导线中的电流 I 这样随着外加电压 U 而改变的问题时，U 是自变量，I 是因变量，R 是常量这时，（A13）式应写作：，（A14）；即 I 与 U 成正比( )UII UR应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是绝对的例如，当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题 时，由于通过各元件的电流是一样的，（A13）式中的电流 I 成了常量，而 R 是自变量，U 是因变量 于是 UU(R)IR，（A15）即 U 与 R 成正比但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时，由于 各分支两端具有共同的电压，（A13）式中的 U 就成了常量，而 R 为自变量，I 是因变量，于是：，（A16）即 I 与 R 成反比( )UII RR总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常 量，有时公式本身反映不出来，需要根据所要讨论的问题来具体分析§2导数导数21 极限极限若当自变量 x 无限趋近某一数值 x0（记作 xx0）时，函数 f(x)的数值无限趋近某一确定的数值 a，则 a 叫做xx0时函数 f(x)的极限值，并记作：， （A17）0lim( ) xxf xa （A17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A17）式读作“当 x 趋近 x0时，f（x）的极 限值等于 a” 极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严 格的定义，只通过一个特例来说明它的意义第3页 共21页考虑下面这个函数：，（A18） ，这里除 x1 外，计算任何其它地方的函数值都是没有232( )1xxyf xx困难的例如当时，当，等等0x (0)2f2x (2)8f但是若问 x1 时函数值 f（1）？，就会发现，这时（A18）式的分子和分母都等于 0，即！用 00(1)0f去除以 0，一般地说是没有意义的所以表达式（A18）没有直接给出 f（1），但给出了 x 无论如何接近 1 时的函 数值来下表列出了当 x 的值从小于 1 和大于 1 两方面趋于 1 时 f（x）值的变化情况： 表表 A-1 x 与与 f(x)的变化值的变化值x232xx1x232( )1xxf xx 0.9-0.47-0.14.7 0.99-0.0497-0.014.97 0.999-0.004997-0.0014.997 0.9999-0.0004997-0.00014.9997 1.10.530.15.3 1.010.5030.015.03 1.0010.0050030.0015.003 1.00010.000500030.00015.0003 从上表看，x 值无论从哪边趋近 1 时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值 5，这便是 x1 时 f(x)的极限值 其实计算 f(x)值的极限无需这样麻烦，只要将（A18）式的分子作因式分解：3x2-x-2(3x2)(x-1)，并在 x1的情况下从分子和分母中将因式(x1)消去：；即可看出：x 趋于 1 时，函(32)(1)( )32 (1)1xxyf xxxx数 f(x)的数值趋于：3×125所以根据函数极限的定义，21132lim( )lim51xxxxf xx22 几个物理学中的实例几个物理学中的实例 （1）瞬时速度 当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点 O 的距离 s 来描述在运动过程中 s 是随时间 t 变化的，也就是说，s 是 t 的函数：ss(t) 函数 s(t)表示的是这个物体什么时刻到达什么地方形象一些说，假如物体是一列火车，则函数 s(t)就是它的一 张“旅行时刻表”但是，在实际中往往不满足于一张“时刻表”，还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率 的概念例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮 弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，等等 为了建立速率的概念，就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况假设考虑的是从 tt0到 tt1的一段 时间间隔，则这间隔的大小为：tt1-t0 根据 s 和 t 的函数关系 s（t）可知，在 t0和 t1t0+t 两个时刻，s 的数值分别为 s（t0）和 s（t1）s（t0+t）， 即在 t0到 t1这段时间间隔里 s 改变了：ss（t1）s（t0）s（t0+t）s（t0）在同样大小的时间间隔t 里，若 s 的改变量s 小，就表明物体运动得慢， 所以就把与之比叫做这sts t 段时间间隔里的平均速率，用来表示，则，（A19） ，举例说明如下v00()( )s tts tsvtt对于匀变速直线运动，根据（A4）式有和，2 000 001( )2s tsv tat2 000001()()()2s ttsv tta tt；222 000000 000000 00111()() ()()()()( )1222 2sv tta ttsv tatvattats tts tvvata tttt 第4页 共21页平均速率反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢，除了匀速直线运动的特殊情况外，的数值或多或少与svts t 的大小有关；取得越短，就越能反映出物体在时刻运动的快慢；通常就把时的极限值叫tts t 0tt0t s t 做物体在 tt0时刻的瞬时速率 v，即，（A20）0000()( )limlim tts tts tsvtt 对于匀变速直线运动来说，0000001limlim()2ttsvvata tvatt 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A5） （2）瞬时加速度 一般地说，瞬时速度或瞬时速率 v 也是 t 的函数：vv（t） 但是在许多实际问题中，只有速度和速率的概念还不够，还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度”的