2013版高考数学专题辅导与训练配套课件：4.3与数列交汇的综合问题(湖北专供-数学文)

第三讲 与数列交汇的综合问题【考情快报】高考对本节知识的考查主要以解答题形式出现，主要包括数列与函数、不等式以及解析几何等知识的交汇，其中，(1)数列与函数、不等式的交汇问题主要考查利用函数与方程的思想方法解决数列中的问题及用解决不等式的方法研究数列的性质，该考向已成为近几年高考命题的一个亮点，属中等以上难度.(2)数列与解析几何交汇，主要涉及点列问题，属中等以上难度.【核心自查】一、主干构建二、交汇问题1.数列与函数数列的通项是自变量为正整数的一类函数，其通项公式相当于函数的解析式，我们可以用函数的观点来研究数列.例如，要研究数列的单调性、周期性、最值等性质，可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性、最值等性质来实现.提醒：要注意自变量为正整数这一特点.2.数列与不等式数列与不等式的综合问题考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系，二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，三是考查与数列问题有关的不等式的证明问题.在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点.例如，在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断.3.数列与解析几何数列与解析几何的综合问题，尤其是解析几何中的点列问题成为高考的热点内容.解决点列问题时首先应充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系或通项公式之间的关系，然后借助数列的知识加以解决.热点考向 一 数列与函数的综合【典例】1.(2012·湖北高考)定义在(-，0)(0，+)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-，0)(0，+)上的如下函数：f(x)=x2；f(x)=2x;f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )(A)(B)(C)(D)2.(2012·济南模拟)已知函数M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)图象上的两点，横坐标为 的点P是线段MN的中点.(1)求证：y1+y2为定值；(3)在(2)的条件下，若(nN*),Tn为数列an的前n项的和，若Tnm(Sn+1+1)对一切nN*都成立，试求实数m的取值范围. 【解题指导】1.本题考查等比数列的性质,解答本题的关键是利用等比数列的定义解答.2.(1)根据对数运算性质用上x1+x2=1得证.(2)用好y1+y2为定值，利用倒序相加法求和.(3)先求Tn，再分离参数求最值得解.【解析】1.选C. 结果不能保证是定值;对于, 可知也符合题意.对于不能保证是定值，故正确.2.(1)由已知可得，x1+x2=1,(2)由(1)知当x1+x2=1时，(3)当n2时，又当n=1时， 所以故Tnm(Sn+1+1)对一切nN*都成立，所以m的取值范围是( ,+).【互动探究】若题1中f(x)=sinx，则f(x)是“保等比数列函数”吗？【解析】不是.不能保证是定值. 【拓展提升】数列与函数交汇问题的常见类型及解法(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解. 热点考向 二 数列与解析几何的综合【典例】1.设直线nx+(n+1)y= (nN*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn,则S1+S2+S3+S2 013的值为_.2.(2012·启东模拟)在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1), P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对一切正整数n,点Pn位于函数y=3x+ 的图象上，且Pn的横坐标构成以 为首项，-1为公差的等差数列xn.(1)求点Pn的坐标；(2)设抛物线列c1,c2,c3,cn,中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn(0,n2+1)，记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：【解题指导】1.先求Sn，再求和.2.(1)先利用等差数列的通项公式求得xn，再利用解析几何知识求yn，即得.(2)利用解析几何知识，算出kn，再求和.【解析】1.直线与x轴交于( ,0),与y轴交于(0, ),答案：(2)cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn.设cn的方程为：把Dn(0,n2+1)代入上式，得a=1,cn的方程为：y=x2+(2n+3)x+n2+1.kn=y|x=0=2n+3,【拓展提升】求解点列问题的关键及规律(1)关键：寻求点的横坐标或纵坐标之间的关系；(2)规律：根据横坐标或纵坐标的关系将其转化为等差或等比数列或数列求通项及求和问题，进行求解.提醒：与曲线的切线相关时，注意充分利用导数的几何意义.热点考向 三 数列与不等式的综合问题【典例】(12分)(2012·临沂模拟)设数列bn的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn；数列an为等差数列，且a5=14,a7=20.(1)求数列bn的通项公式；(2)若cn=an·bn(n=1,2,3,),Tn为数列cn的前n项和，求证：Tn【解题指导】(1)根据递推关系利用bn= 得到数列bn中项bn与bn-1的递推关系，求通项公式.(2)根据cn解析式的结构特征求Tn，利用函数思想证明Tn【规范解答】(1)由bn=2-2Sn,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1，所以b1= .1分当n2时，由bn=2-2Sn,可得bn-1=2-2Sn-1,所以bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即 ,3分所以bn是以b1= 为首项， 为公比的等比数列，于是5分(2)由数列an为等差数列，且a5=14,a7=20,可得公差d= (a7-a5)=3,a1=a5-4d=2,可得an=3n-1,7分从而9分数列Tn单调递增.11分TnT1,而即Tn 成立.12分 【拓展提升】1.证明与数列交汇的不等式问题的常用方法(1)作差比较法证明.(2)判断数列的单调性，根据数列的取值范围证明.(3)合理利用放缩法证明.2.数列中不等式的放缩问题在数列求和时,为了证明的需要,需合理变形,常用到放缩法,常见的放缩技巧有：提醒：根据证明的要求放缩时要适度. 【思想诠释】数列与不等式问题中的函数与方程思想(1)本题中的函数与方程思想主要是：求数列an中公差d时，构建d的方程求解.利用错位相减法求Tn时，构建Tn的方程求出Tn.证明Tn 时，利用函数思想求Tn的最小值解决.(2)解决数列与不等式交汇问题中应用函数与方程思想的常见类型：求字母的值或取值范围一般寻找等量或不等关系构建方程或不等式(组)求解.大小比较：一般用作差法或判断函数单调性求解.证明不等式经常构建函数求最值(值域)或判断单调性进而解决.数列中不等式恒成立问题，用函数中的恒成立问题的方法求解.1.(交汇新)已知an是等差数列，a3=6,其前9项和S9=90，则经过(5,a5)与(7,a7)两点的直线的斜率为( )【解析】选D.an是等差数列且a3=6及S9=90，设此数列的首项为a1，公差为d，可以得到：解之得：由等差数列的通项公式可以得到：a5=a1+4d=2+4×2=10, a7=a1+6d=2+6×2=14,(5,a5)即(5,10),(7,a7)即(7,14).由斜率公式得斜率为故选D.a1+2d=6,2.(定义新)若数列an对于任意的正整数n满足：an0且anan+1=n+1，则称数列an为“积增数列”.已知“积增数列”an 中，a1=1,数列 的前n项和为Sn，则对于任意的正整数n，有( )(A)Sn2n2+3 (B)Snn2+4n(C)Snn2+4n (D)Snn2+3n【解析】选D.an0,anan+1=n+1,anan+1的前n项和为3.(交汇新)设函数 A0为坐标原点，An为函数y=f(x)图象上横坐标为n(nN*)的点，向量向量i=(1,0),设n为向量an与向量i的夹角，满足 的最大整数n是( )(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】选B.由已知得验证知n=3符合4.(交汇新)已知函数f(x)=logmx(m为常数，0m1)，且数列f(an)是首项为2，公差为2的等差数列.(1)若bn=an·f(an),当m= 时，求数列bn的前n项和Sn；(2)设cn=an·lgan，如果cn中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围.【解析】(1)由题意f(an)=2+(n-1)×2=2n,即logman=2n,an=m2n.bn=an·f(an)=2n·m2n,当m= 时，bn=an·f(an)=n·( )n-1，Sn=1·( )0+2·( )1+3·( )2+n·( )n-1, Sn=1·( )1+2·( )2+3·( )3+n·( )n -,得 Sn=1·( )0+( )1+( )2+( )n-1-n·( )nSn=-(n+2)( )n-1+4.(2)由(1)知，cn=an·lgan=2n·m2nlgm,要使cncn+1对一切nN*成立，即nlgm(n+1)m2lgm对一切nN*成立.0m1,lgm0,n(n+1)m2,对一切nN*恒成立，只需m2( )min,=1- 单调递增，当n=1时，( )min=m2 得 m ，m的取值范围为0m .