第二章Z变换例题
第二章 Z变换 例题重要概念：连续系统： 傅里叶变换拉普拉斯变换离散系统： 傅里叶变换Z变换重点：Z变换收敛域， 零极点的概念，Z变换的基本性质 和定理，单位取样响应h(n)的Z变换-系统函数与系统稳定性之间的关系。例1 求以下序列的Z变换，并求出对应的零极点和收敛域：（1）（2）（3）（4）分析： 中，n的取值范围是的有值范围，z变换的收敛域是满足的z值范围。解：（1）由z变换的定义可知：收敛域为 即极点为零点为（2）由z变换的定义可知：收敛域为：极点为零点为：（3）由z变换的定义可知：收敛域为极点为零点为（4）由z变换的定义可知：与 的收敛域相同，所以 的收敛域是极点零点例2 假如 的z变换表示式为下式，问 可能有多少不 同的收敛域，它们分别对应什么序列？分析：有限长序列的收敛域为特殊情况：右边序列的收敛域为 Rx-0时x(n)=0，问相应的定理是什么？讨论一个序列x(n)，其Z变 换为X(z)的收敛域包括单位圆，试求其x(0)值。分析：求如何由双边序列z变换X(z)求序列初值x(0)。把序列 分成因果序列和反因果序列两部分（它们求初值的表达式不 同），分别求x(0)将两部分的x(0)相加即得所求。解：当序列满足n0，x(n)=0时有 所以有若序列x(n)的z变换为所以X(z)的极点为z 1=2， z 2=1/2由题知，X(z)的收敛域包括单位圆，则其收敛域为因而， 时有值的左边序列， 时 有值的右边序列。则 得例5 有一信号y(n)与另两个信号 的关系是 其中已知利用Z变换的性质求y(n)的z变换Y(z)。 分析（1）移位定理（2）时域卷积定理解：根据题目条件可得又由移位定理得而 所以收敛域例6 已知用下列差分方程描述一个线性移不变因果系统（1）求这个系统的系统函数，并指出其收敛域；（2）求此系统的单位抽样响应；（3）此系统为不稳定系统，请找出一满足上述差分方程的稳定 的（非因果）系统的单位抽样响应。分析：系统函数求收敛域，要先求零极点。收敛域为z平面某个圆外，则为因果系统（不一定稳定）收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一因果）。解：（1）对题中的差分方程两边作z变换，得所以可求得零点为极点为又因为是因果系统，所以 是其收敛域。因为所以式中由于H(z)的收敛域不包括单位圆，故这是个不稳定系统（3）若要系统稳定，则收敛域应包括单位圆，因此选H(z) 的收敛域为 ，则式中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。所以有此系统是稳定的，但不是因果的。第三章 DFT 例题l重要概念DFT的定义 DFT的周期性，对称性 频率域采样定理；DFT的应用 圆周卷积与线性卷积 例1 试求以下有限长序列的N点DFT（1）（2）分析：利用有限长序列的DFT的定义解：（1）因为所以（2）因为所以例2 设有两个序列 各作15点DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所 得结果为f(n)，问f(n)的那些点对应 应该得到的点。分析：本题相当于在时域作圆周卷积。 设线性卷积结果系列为N点，若作L点圆周卷积，则应将线性 卷积结果以L点为周期作周期延拓，混叠相加，然后再取主值 区间（n=0L-1)的序列，该序列即为L点圆周卷积结果。 混叠点数为N-L，故在-处发生混叠, n=N-L到N=L-1点处，圆周卷积结果相当于线性卷积结果。解序列x(n)的点数为 ，y(n)的点数为 ，故 的点数应为 又f(n)为x(n)与y(n)的15点圆周卷积，即L=15。所以混叠点数为N-L=20-15=5。即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列f(n)时，一个 周期内在n=04这5点发生混叠，即f(n)中只有n=5到n=14的 点对应于 应该得到的点。例3 已知x(n)是N点有限长序列，X(k)=DFTx(n)。现将长度 变成rN点的有限长序列y(n)试求rN点DFTy(n)与X(k)的关系。分析利用DFT定义求解。y(n)是rN点序列，结果相当于在频域序列插值。解 由所以在一个周期内，Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍，相当 于X(k)的每两个值之间插入r-1个其他数值（不一定为零 ），而当k为r的整数倍时，Y(k)与 相等。例四 已知x(n)是N点有限长序列，X(k)=DFTx(n)。现将 x(n)的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个rN点的有限 长序列y(n)试求rN点DFTy(n)与X(k)的关系。分析 利用DFT定义求解。 y(n)是rN点序列，结果相当于在频域以N为周期延拓r次。解 由所以Y(k) 是将X(k)以N为周期延拓r次形成的。第四章 FFT 例题l重点概念基2FFT算法及IFFT的快速算法 计算时间比较 例1 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5us,每次复 加0.5us。用它来计算512点的DFTx(n),问直接计算需要多 少时间，用FFT运算需要多少时间。分析（1）DFT计算 ：复乘次数 ，复加次数 N(N-1)。（2）FFT计算 ：复乘次数 ，复加次数 。解（1）直接计算复乘所需时间复加所需时间所以（2）FFT计算复乘所需时间复加所需时间所以
