郑州大学概率论与数理统计课程 第7.3章 其他分布参数的假设检验

第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1 1页页§7.3 其他分布参数的假设检验7.3.1 指数分布参数的假设检验 设 x1, x2 , , xn 是来自指数分布的样本，关于 的如下检验问题： (7.3.1)拒绝域的形式是 ，由于在=0时，所以拒绝域为 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第2 2页页例7.3.1 设我们要检验某种元件的平均寿命不小 于6000小时，假定元件寿命为指数分布，现取5个元件投入试验，观测到如下5个失效时间:395, 4094, 119, 11572, 6133。 解：由于待检验的假设为 若取 =0.05，则检验拒绝域为: 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第3 3页页故接受原假设， 可以认为平均寿命不低于6000小时.经计算得第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第4 4页页7.3.2 比例的检验比例 p 可看作某事件发生的概率。作 n 次 独立试验，以 x 记该事件发生的次数，则。我们可以根据 x 检验关于 p 的 一些假设: (1)直观上看拒绝域为: ，由于x 只取整数值，故c 可限制在非负整数中。第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第5 5页页这是在对离散总体作假设检验中普遍会遇到的 问题.一般情况下，对给定的 ，不一定能正好取到 一个正整数c 使下式成立:第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第6 6页页一般较常见的是找一个c0，使得 (2)检验的拒绝域为:c 为满足的最大正整数 。第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第7 7页页(3)检验的拒绝域为:或其中c1为满足下式的最大正整数:c2为满足下式的最小正整数:第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第8 8页页例7.3.2 某厂生产的产品优质品率一直保持在40%，近期对该厂生产的该类产品抽检 20件，其中优质品7件，在 下能否认为 优质品率仍保持在40%？ 解：以p 表示优质品率，x 表示20件产品中的优质品件数，则 ，待检验的假设为拒绝域为 或第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第9 9页页由于下求c1与c2:故取 c1=3，又因为从而c2=12，拒绝域为附带指出，该拒绝域的显著性水平实际上不是 0.05，而是0.0160+0.021=0.0370 。由于观测值没有落入拒绝域，故接受原假设。 或第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1010页页7.3.3 大样本检验 在二点分布参数 p 的检验问题中，临界值的确 定比较繁琐，使用不太方便。如果样本量较大， 我们可用近似的检验方法大样本检验。大样本检验一般思路如下：设是来自某 总体的样本，又设该总体均值为 ，方差为 的 函数，记为 ，譬如，对二点分布b(1, )， 其方差(1- )是均值 的函数，则在样本容量n 充分大时， 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1111页页故可采用如下检验:由此近似地确定拒绝域。统计量 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1212页页例7.3.3 某厂产品的不合格品率为 10%，在 一次例行检查中，随机抽取80件，发现有11件不合格品，在 =0.05=0.05下能否认为不合格品率仍为10%？解：这是关于不合格品率的检验，假设为:第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1313页页若取 =0.05=0.05，则u0.975=1.96, 故拒绝域为故不能拒绝原假设。 因为n =80 比较大，可采用大样本检验方法 。检验统计量为第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1414页页例 7.3.4 某建筑公司宣称其麾下建筑工地平均每天发生事故数不超过 0.6 起，现记录了该公司麾下建筑工地 200天的安全生产情况，事故数记录如下：天数102 59 30 8 010 200一天发生 的事故数01 2 3 45合 计6试检验该建筑公司的宣称是否成立(取 =0.05=0.05)。 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1515页页解：以X 记建筑工地一天发生的事故数，可认为 ，要检验的假设是： 由于n=200很大，可以采用大样本检验， 泊松分布的均值和方差都是，这里，检验统计量为第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1616页页若取 =0.05=0.05，则 u0.95=1.645，拒绝域为如今 u=2.556 已落入拒绝域，故拒绝原假设， 认为该建筑公司的宣称明显不成立。 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1717页页大样本检验是近似的:近似的含义是指检验的实际显著性水平与原先设定的显著性水平有差距，这是由于诸如(7.3.12)中u 的分布与N(0,1)有距离。如果n 很大，则这种差异就很小。实用中我们一般并不清楚对一定的n, u 的分布与N(0,1) 的差异有多大，因而也就不能确定检验的实际水平与设定水平究竟差多少。在区间估计中也有类似问题。因此，大样本方法是一个“不得已而为之”的方法。只要有基于精确分 布的方法一般总是首先要加以考虑的。第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1818页页7.3.4 检验的 p 值假设检验的结论通常是简单的: 在给定的显 著水平下，不是拒绝原假设就是保留原假设 。然而有时也会出现这样的情况：在一个较 大的显著水平（ =0.05=0.05）下得到拒绝原假设 的结论，而在一个较小的显著水平（ =0.01=0.01 ）下却会得到相反的结论。这种情况在理论上很容易解释：第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第1919页页因为显著水平变小后会导致检验的拒绝域变 小，于是原来落在拒绝域中的观测值就可能 落入接受域。但这种情况在应用中会带来一些麻烦：假如 这时一个人主张选择显著水平 =0.05=0.05，而另 一个人主张选 =0.01=0.01，则第一个人的结论是 拒绝H0，而后一个人的结论是接受H0，我们该如何处理这一问题呢？第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第2020页页例7.3.5 一支香烟中的尼古丁含量X 服从正态分布N(,1)，质量标准 规定不能超过1.5毫克。现从某厂生产的香烟中随机抽取20支测得其中平均每支香烟的尼古丁含量为 毫克，试问该厂生产的香烟尼古丁含量是否符合质量标准的规定。这是一个假设检验问题： H0 : 1.5, H1 : >1.5,采用u检验，计算得:第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第2121页页对一些的显著性水平，表7.3.1列出了相应的拒绝 域和检验结论。表7.3.1 例7.3.5中的拒绝域显著性水平拒绝域u=2.10对应的结论 =0.05u1.645拒绝H0 =0.025u1.96拒绝H0 =0.01u2.33接受H0 =0.005u2.58接受H0我们看到，不同的 有不同的结论。 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第2222页页现在换一个角度来看，在 =1.5时，u的分布 是N(0,1)。此时可算得，P(u2.10)=0.0179， 若以0.0179为基准来看上述检验问题，可得Ø 当 2.10。于是2.10就不在 中，此时应接受原假设H0;Ø 当 0.0179时， 2.10。于是2.10就落在 中，此时应拒绝H0。 u由此可以看出，0.0179是能用观测值2.10做出 “拒绝H0”的最小的显著性水平，这就是p值。u第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第2323页页定义7.3.1 在一个假设检验问题中，利用观测值能够做出拒绝原假设的最小显著性水平称为检验的p 值。 引进检验的p 值的概念有明显的好处:第一，它比较客观，避免了事先确定 显著水平；其次，由检验的p 值与人们心目中的显 著性水平 进行比较可以很容易作出检验的结论：第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第2424页页Ø 如果 p，则在显著性水平 下拒绝 H0；Ø 如果 7.815，故拒绝原 假设，认为营养状况对智商有影响。本例中检验的p 值为0.0002。 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第5353页页7.4.3 正态性检验 正态分布是最常用的分布，用来判断总体分布 是否为正态分布的检验方法称为正态性检验， 它在实际问题中大量使用。一、 正态概率纸 正态概率纸可用来作正态性检验，方法如下： 利用样本数据在概率纸上描点，用目测方法看 这些点是否在一条直线附近，若是的话，可以 认为该数据来自正态总体，若明显不在一条直 线附近，则认为该数据来自非正态总体。第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第5454页页例7.4.4 随机选取10个零件，测得其直径与标准尺寸的偏差如下：（单位：丝） 9.4 8.8 9.6 10.2 10.1 7.2 11.1 8.2 8.6 9.6 在正态概率纸上作图步骤如下： (1) 首先将数据排序：7.2 8.2 8.6 8.8 9.4 9.6 9.8 10.1 10.2 11.1;(2) 对每一个i，计算修正频率(i-0.375)/(n+0.25), i=1,2,n,第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第5555页页(3) 将点 逐一点在正态概率纸上,(4) 观察上述n个点的分布: Ø 若诸点在一条直线附近,则认为该批数据来自正态总体； Ø 若诸点明显不在一条直线附近，则认为该批数据的总体不是正态分布。 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第5656页页从图7.4.2可以看到，10个点基本在一条直线附近， 故可认为直径与标准尺寸的偏差服从正态分布。 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第5757页页如果从正态概率纸上确认总体是非正态分布 时，可对原始数据进行变换后再在正态概率 纸上描点，若变换后的点在正态概率纸上近 似在一条直线附近，则可以认为变换后的数 据来自正态分布，这样的变换称为正态性变 换。常用的正态性变换有如下三个：对数变 换 、倒数变换 和根号变换。 第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第5858页页图7.4.3 给出这10个点在正态概率纸上的图形， 这10个点明显不在一条直线附近，所以可以认 为该电子元件的寿命的分布不是正态分布。例7.4.5 随机抽取某种电子元件10个,测得其寿命数据如下:110.47, 99.16, 97.04, 77.60, 4269.82,539.35, 179.49, 782.93, 561.10, 286.80.第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学* *第第5959页页图7.4.3 例7.4.5 的正态概率纸第七章第七章 假设检验假设检验郑州郑州大学大学*