郑州大学概率论与数理统计课程 第7.2章 参数点估计的评价标准

Ch7-1§7.2 点估计的评价标准对于同一个未知参数,不同的方法得 到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?常用 标准(1) 无偏性(3) 一致性(相合性)(2) 有效性§7.2Ch7-2若 则称是 的无偏估计量. 无偏性无偏定义我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性Ch7-3是总体X 的样本 ,证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在),是的无偏估计量.证例1 设总体X 的 k 阶矩存在因而由于例1则Ch7-4 特别地 样本二阶原点矩 是总体是总体期望 E( X ) 的样本均值无偏估计量的无偏二阶原点矩估计量Ch7-5 例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的样本为 (n > 1) . (1) 不是 D( X )的无偏估量; (2) 是 D( X ) 的无偏估计量. 证前已证证明例2Ch7-6 因而故 证毕.Ch7-7例4 设总体 X 的密度函数为为常数为 X 的一个样本 证明与都是 的无偏 估计量证 故 是 的无偏估计量.例4Ch7-8令即故 n Z 是 的无偏估计量.Ch7-9都是总体参数 的无偏估计量, 且则称 比 更有效.定义 设有效性有效Ch7-10所以,比更有效.是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？ 由例4可知, 与 都为常数例5 设总体 X 的密度函数为解 ，例5Ch7-11 例6 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2 为总体 X 的一个样本证明是 的无偏估计量(2) 证明比更有效证 (1) 例6(1) 设常数Ch7-12 (2) 而结论算术均值比加权均值更有效.Ch7-13 例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.都是 的无偏估计量由例6(2) 知最有效.Ch7-14 罗克拉美（Rao Cramer）不等式若是参数 的无偏估计量, 则其中 p ( x , ) 是 总体 X 的概率分布或密 度函数，称 为方差的下界.当 时, 称 为达到方差下界的 无偏估计量, 此时称 为最有效的估计量, 简称有效估计量.Ch7-15定义 设 是总体参数 则称是总体参数 的一致(或相合)估计量.的估计量. 若对于任意的 , 当n 时, 一致性(相合性)依概率收敛于 , 即一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.一致Ch7-16 关于一致性的两个常用结论 1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量. 是 的一致估计量.由大数定律证明用切贝雪夫不等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下, 极大似然估计具有一致性2. 设 是 的无偏估计量, 且 , 则Ch7-17例8为常数则 是 的无偏、有效、一致估计量.证 由例7 知 是 的无偏、有效估计量.所以 是 的一致估计量, 证毕.例8Ch7-18第十四周 问 题母亲嗜酒是否影响下一代的健康美国的Jones医生于1974年观察了母 亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的6名七岁 儿童（称为甲组）.以母亲的年龄，文化 程度及婚姻状况与前6名儿童的母亲相同 或相近，但不饮酒的46名七岁儿童为对 照租(称为乙组). 测定两组儿童的智商， 结果如下：每周一题14Ch7-19甲 组 6 78 19乙 组 46 99 16人数智商平均数样本标准差智商组别由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一 代的智力？若有影响，推断其影响程度有 多大? 提示 前一问题属假设检验问题后一问题属区间估计问题