郑州大学概率论与数理统计课程 第4章 随机变量的数字特征

Ch4-1第四章第四章 随机变量的数字特征Ch4-2分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征.判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度例如：Ch4-3考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小.由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.Ch4-4q r.v.的平均取值 数学期望q r.v.取值平均偏离均值的情况 方差 q 描述两 r.v.间的某种关系的数 协方差与相关系数本 章 内 容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写Ch4-5设 X 为离散 r.v. 其分布为若无穷级数其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即数学期望的定义定义绝对收敛, 则称Ch4-6设连续 r.v. X 的 d.f. 为 若广义积分绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望记作 E( X ), 即数学期望的本质 加权平均 它是一个数不再是 r.v.定义Ch4-7 例1 X B ( n , p ), 求 E( X ) .解特例 若Y B ( 1 , p ), 则 E(Y) 例1Ch4-8例2 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .解例2Ch4-9 常见 r.v. 的数学期望（P159）分布期望概率分布参数为p 的 0-1分布pB(n,p)npP()Ch4-10分布期望概率密度区间(a,b)上的 均匀分布E()N(, 2)Ch4-11 注意 不是所有的 r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!Ch4-12q 设离散 r.v. X 的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则q 设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x)绝对收敛, 则若广义积分r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望Ch4-13q 设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), 绝对收敛, 则若广义积分Ch4-14q E (C ) = Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) q 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .数学期望的性质常数期望性质Ch4-15 性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立反例如注Ch4-16几个重要的 r.v. 函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩 X 的 k 阶中心矩 X 的 方差附录2附录2Ch4-17 X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 X ,Y 的 二阶原点矩 X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差 X ,Y 的相关系数Ch4-18若E X - E(X)2 存在, 则称其为随机称为 X 的均方差或标准差.方差概念定义即 D (X ) = E X - E(X)2 变量 X 的方差, 记为D (X ) 或 Var (X )两者量纲相同 概念D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度 数Ch4-19若 X 为离散型 r.v.，分布律为若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x)计算方差的常用公式：Ch4-20q D (C) = 0q D (aX ) = a2D(X)D(aX+b ) = a2D(X)q 特别地，若X ,Y 相互独立，则方差的性质性质Ch4-21 若相互独立，为常数则若X ,Y 相互独立q 对任意常数C, D (X ) E(X C)2 ,当且仅当C = E(X )时等号成立q D (X ) = 0 P (X = E(X)=1称为X 依概率 1 等于常数 E(X)Ch4-22 性质 1 的证明：性质 2 的证明：Ch4-23性质 3 的证明：当 X ,Y 相互独立时，注意到， Ch4-24 性质 4 的证明：当C = E(X )时，显然等号成立；当C E(X )时，Ch4-25 常见随机变量的方差(P.159 )分布方差概率分布参数为p 的 0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()方差表Ch4-26分布方差概率密度区间(a,b)上 的均匀分布E()N(, 2)Ch4-27 标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X ) 都存在, 且D(X ) 0, 则称为 X 的标准化随机变量. 显然，Ch4-28 § 4.4 协协方差和相关系数问题 对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系§ 4.4Ch4-29称为 X ,Y 的协方差. 记为 称为（X , Y ）的协方差矩阵协方差和相关系数的定义定义定义Ch4-30 若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称为X ,Y 的 相关系数，记为事实上，若称 X ,Y 不相关.无量纲的量Ch4-31若 ( X ,Y ) 为离散型，若 ( X ,Y ) 为连续型，协方差和相关系数的计算q Ch4-32求 cov (X ,Y ), XY 1 0p qX P 1 0p qY P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为X Ypij1 010p 00 q0 0, D(Y ) > 0 时，当且仅当时, 等式成立 Cauchy-Schwarz不等式证 令对任何实数 t ,Ch4-38即等号成立有两个相等的实零点即显然Ch4-39即即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1, 这种 线性关系为Ch4-40 完全类似地可以证明当E(X 2) > 0, E(Y 2 ) > 0 时,当且仅当时, 等式成立.Ch4-41 相关系数的性质q q Cauchy-Schwarz不等式 的等号成立 即Y 与X 有线性关系的概率等于1， 这种线性关系为系性质Ch4-42Ch4-43 q X , Y 不相关X ,Y 相互独立X , Y 不相关若 ( X , Y ) 服从二维正态分布， X , Y 相互独立X , Y 不相关