勾股定理经典例题

知识要点： 1. 勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的 两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有2.勾股定理逆定理： 直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、 b、 c有 关系：，那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2a2+b2=c2cba代王中学教学课件ABC蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米？GE345125 13（小方格的边长为1厘米）练习1:代王中学教学课件.勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称 为勾股数，即a2+b2=c2 中，a，b，c为正整数时 ，称a，b，c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25;等 用含字母的代数式表示组勾股数：（n为正整数）；（n为正整数）；（n为正整数）；练习2:例题2 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米 长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？题型二：利用勾股定理测量长度分析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一 ”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角 边的长度，可以直接利用勾股定理！解：根据勾股定理 AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12练习4:例题3 如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树 梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的 一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以 2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少 几秒才可能到达小树和伙伴在一起？A小汽车小汽车 BC观测点例题4“中华人民共和国道路交通管理条例” 规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 24km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路 上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车 速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小 汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽 车超速了吗？例题5 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处 ，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米， 把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求 水池的深度AC. 练习5:解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5）2 解之得x=2. 故水深为2米.四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12 ，AD=13，求四边形ABCD的面积。练习12:ABCDA=600, B=D=900,AB=4,CD=2, 求S四边形ABCD.练习19:ABCDE例题6 、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。思路点拨拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三 边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根 据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根 据题意得：（3x）2+（4x）2202化简得x216；直角三角形的面积×3x×4x6x296总结总结 升华华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未 知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。例题7、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米， 要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆 卡车能否通过该 工厂的厂门?练习6:【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡 车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点 D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H解：OC1米 (大门宽度一半)，OD0.8米 （卡车宽度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C. .（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门=（一）用勾股定理求两点之间间的距离问题问题例题8 、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。类型三：勾股定理的实际应用练习7:解析：（1）过B点作BE/ADDAB=ABE=60°30°+CBA+ABE=180°CBA=90°即ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以（2）在RtABC中，BC=500m，AC=1000mCAB=30°DAB=60°DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的方向代王中学教学课件（二）用勾股定理求最短问题 例题9如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高 为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行 的最短路程练习8:解：如图，在Rt中，底面周长的一半 cm， 根据勾股定理得 AC（cm）（勾股定理）答：最短路程约为cm 代王中学教学课件例、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满 足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的 形状。 思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题 目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手 ，解决问题 练习10:解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关 系的,在证明中也常要用到。 代王中学教学课件【变式】在数轴上表示的点。看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边 分别是3和1。 作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作 ACOA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。解析：可以把练习11:【答案】：连结ACB=90°，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90°（勾股定理逆定理）2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN 30°，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机 行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉 机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪 声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速 度为18km/h，那么学校受影响的时间为 多少秒？ 练习13:思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离 是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计 算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所 行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影 响学校。 解析：作ABMN，垂足为B。 在 RtABP中，ABP90°，APB30°， AP160， AB AP80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） 点 A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD100(m) ，BD60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m÷5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时 ，学校会受到噪声影响，学 校受影响的时间为 24秒。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点 C处学校开始受到影响，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC 60。 如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC 的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若 BE=12，CF=5求线段EF的长。思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条 线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化 ，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊 的性质，不妨先连接AD 练习14:解：连接AD因为BAC=90°，AB=AC 又因为AD为ABC的中线，所以AD=DC=DBADBC且BAD=C=45°因为EDA+ADF=90° 又因为CDF+ADF=90°所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA）所以AE=FC=5同理：AF=BE=12在RtAEF中，根据勾股定理得：，所以EF=13。 16、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此 长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积 为_A 6cm2 B 8cm2 C 10cm2 D 12cm2ABEFDC练习16:17、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ）（B）（C）（D）（A）c练习18:解：设两直角边长为X和Y 因斜边上的中位线为d 则斜边长为2d 则X²+Y²（2d）²4d² 因三角形的面积为S 则XY/2S XY2S 则（X+Y）²X²+Y²+2XY4d²+4S4（d²+S） X+Y2（d²+S） 则三角形的周长X+Y+2d2（d²+S）+2d 代王中学教学课件（小方格的边长为1厘米）练习17:代王中学教学课件已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，AB=4， BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD的面积。练习20:如图所示，在中,且,求的长.练习21:题型一：直接考查勾股定理例一. 在中，已知，求已知，求分析：直接应用勾股定理的长的长利用对角对边，分清直角边，斜边练习3:解：代王中学教学课件