线性代数 6-1

向量向量组向量空间基坐标直角 坐标点线平面？二次曲线椭圆，双曲线，抛物线云想衣裳花想容n维空间几何对象的衣 裳：矩阵时装秀向量行或列矩阵；向量组行或列拼 成的矩阵；向量空间，基，坐标矩阵的 极大线性无关组，秩.点,线,平面线性方程组的解解之间的关 系二次曲线的时装？§6.1 二次型及其矩阵表示 定义6.1.1 设P是一个数域,关于n个 变元x1, x2, xn的系数在P中的二次齐次多项式 (6.1.1) 称为数域P上的一个n元二次型.在不会引 起混淆时简称为二次型. 若P是实数域R或 复数域C时,分别称为实二次型或复二次 型.令aji=aij (当ij),则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi, 二次型可写成 记则二次型式可用矩阵乘法表示为(6.1.2) (6.1.3) 由二次型的系数aij组成的矩阵A=(aij)n×n是 对称方阵,称为二次型f (x1, xn)的矩阵,A 的秩称为二次型f(x1, xn)的秩.n元二次型f与n阶对称阵A一一对应，任给 一个对称矩阵A,就给出了一个二次型,反之亦然. n元二次型也即n维空间的二次曲面，应该 怎样去研究? 仿造平面解析几何，将曲面方程通过变元 代换化成只有平方项的标准形！， ， 定义6.1.3 设x1, x2, xn和y1, y2, yn 是两组变元,系数在数域P上的一组关系式称为由x1, xn到y1, yn的一个线性变换. 它可写成矩阵形式其中(6.1.4) (6.1.5) 若系数矩阵C是可逆阵, 则称此线性变换 为可逆线性变换. 将此可逆线性变换式代 入二次型,得 其中B=CTAC满足BT= (CTAC)T = CTA(CT)T = CTAC = B,即B为对称阵.因此g(y1, y2, yn )为关于变元y1, y2, yn的二次型,而g的矩 阵为B= CTAC.当C可逆时,B的秩还等于A的秩. 任何二次型经过可逆线性变换后仍是一个 二次型，且秩不变。签订矩阵之间的合同。， ， 定义6.1.4 设A,B为数域P的两个n阶 方阵,若存在P上可逆方阵C使称A与B是合同的矩阵,记为 类似于矩阵的相似关系,矩阵的合同关 系也具有:,.1. 反身性 :2. 对称性:若 3. 传递性:若因为若,这是因为A=ETAE; .事实上 ,则当A2=CTA1C时必有A1=(C-1)TA2(C-1)；,则.,则有 易见,合同的矩阵还具有相同的秩.合同翻译： 经过可逆线性变换后,新二 次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.定义6.1.5 只含平方项的二次型 如果可逆线性变换X = CY 把二次型 f =显然 f 的标准形与 f 具有相同的秩. 称为标准的二次型. XTAX 化成了标准的二次型 ,则称g为f的一个标准形.易见标准的二次型的矩阵是对角阵.由于二 次型与对称阵是一一对应的,因此把二次型 f=XTAX 化为标准形就是寻找可逆阵C使 CTAC 为对角形.