郑州大学概率论与数理统计课程 第7.1章 参数点估计

第七章 7-1第七章参数估 计问题假设检 验问题点 估 计区间估 计统计 推断的 基本 问题7-2什么是参数估计？参数是刻画总体某方面概率特性的数量.当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计. 例如，X N ( , 2), 点估计区间估计若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容.参数估计的类型点估计 估计未知参数的值区间估计 估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值.§7.1 点估计方法 点估计的思想方法设总体X 的分布函数的形式已知, 但含有 一个或多个未知参数：1,2, ,k 设 X1, X2, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量：随机变量7-5§7.1当测得样本值(x1, x2, xn)时,代入上述 方程组，即可得到 k 个数：数 值称数为未知参数的估计值7-6对应统计量 为未知参数的估计量并建立k个方程。三种常用的点估计方法q 频率替换法利用事件A 在 n 次试验中发生的频率作为事件A 发生的概率 p 的估计量7-7法一例1 设总体X N ( , 2 ), 在对其作28 次 独立观察中, 事件 “X < 4” 出现了21 次, 试用频率替换法求参数 的估计值.解 由查表得于是 的估计值为7-8例1方法用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量, 建立含有待估参数的方程, 从而解出待估参数7-9一般, 不论总体服从什么分布, 总体期望 与方差 2 存在, 则它们的矩估计量分别为q 矩法 法二7-10 事实上，按矩法原理，令7-11 设待估计的参数为设总体的 r 阶矩存在，记为样本 X1, X2, Xn 的 r 阶矩为令 含未知参数 1,2, ,k 的方程组7-12 解方程组 , 得 k 个统计量：未知参数1, ,k的矩估计量代入一组样本值得 k 个数:未知参数1, ,k的矩估计值例2 设总体 X N ( , 2 ), X1, X2, Xn为总体的样本, 求 , 2 的矩法估计量.解例3 设总体 X E(), X1, X2, Xn为总体的样本, 求 的矩法估计量.解令7-13故例23例4 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机 抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050, 1100, 1080, 1120, 12001250, 1040, 1130, 1300, 1200 试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均 寿命及寿命分布的方差.解7-14例4例5 设总体 X U (a, b), a, b 未知, 求参数a, b 的 矩法估计量.解由于令7-15例5解得7-16q 极大似然估计法思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率 例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球一箱 99个白球 1 个红球一箱 1 个白球 99个红球现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球.答: 第一箱.7-17问: 所取的球来自哪一箱？法三例6 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用极大似然法求 p 的估计值. 解总体 X 的概率分布为设 x1, x2, xn为总体样本X1, X2, Xn 的样本值,则7-18例6对于不同的 p , L (p)不同, 见右下图现经过一次试验，发生了，事件则 p 的取值应使这个事件发生 的概率最大.7-19在容许范围内选择 p ，使L(p)最大注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若某个p 使ln L(p)最大, 则这个p 必使L(p)最大。7-20所以为所求 p 的估计值.一般, 设 X 为离散型随机变量, 其分布律为则样本 X1, X2, Xn的概率分布为7-21或称 L( ) 为样本的似然函数称这样得到的 为参数 的极大似然估计值称统计量为参数 的极大似然估计量7-22MLE简记mle简记选择适当的 = ,使 取最大值, 即L( )极大似然法的思想若 X 连续, 取 f (xi, )为Xi 的密度函数似然函数为7-23 注1注2未知参数可以不止一个, 如1, k 设X 的密度(或分布)为 则定义似然函数为若关于1, , k可微,则称为似然方程组 若对于某组给定的样本值 x1, x2, xn， 参数 使似然函数取得最大值, 即则称为1, k 的极大似然估计值7-24显然，称统计量为1, 2, k 的极大似然估计量7-25例7 设总体 X N (, 2), x1, x2, xn 是 X的样本值, 求 , 2 的极大似然估计.解7-26例7, 2 的极大似然估计量分别为似然 方程 组为7-27极大似然估计方法1） 写出似然函数 L2）求出, 使得7-28可得未知参数的极大似然估计值 然后, 再求得极大似然估计量.7-29L是 的可微函数,解似然方程组若L不是 的可微函数, 需用其它方法求极大似然估计值. 请看下例：若例8 设 X U (a,b), x1, x2, xn 是 X 的一个 样本值, 求 a , b 的极大似然估计值与极大 似然估计量. 解 X 的密度函数为似然函数为7-30例8似然函数只有当 a < xi < b, i = 1,2, n 时 才能获得最大值, 且 a 越大, b 越小, L 越大.令xmin = min x1, x2, xn xmax = max x1, x2, xn取则对满足的一切 a < b , 7-31都有故是 a , b 的极大似然估计值.分别是 a , b 的极大似然估计量.7-32极大似然估计的不变性设 是 的极大似然估计值, u( )( )是 的函数, 且有单值反函数 = (u), uU 则 是 u( ) 的极大似然估计值. 7-35不变性如 在正态总体N (, 2)中, 2的极大似然估计值为是 2的单值函数, 且具有单值反函数，故 的极大似然估计值为lg 的极大似然估计值为7-36