郑州大学概率论与数理统计学 第六章 数理统计的基本概念

数理统计学 研究如何取得反映客观 现象的数据，并通过图表形式对所收集的 数据进行加工处理和显示，进而通过综合 概括与分析得出反映客观现象的规律性数 量特征。研究如何根据样本数据 去推断总体数量特征的方法，它是在对样 本数据进行描述的基础上，对统计总体的 未知数量特征做出以概率形式表述的推 断。数 理 统 计 的 分 类描述统计学推断统计学第六章 数理统计的基本概念第六章 参数估计 (第七章) 假设检验 (第八章) 回归分析 (第九章) 方差分析 (第九章) 推断 统计学Ch6-4第六章 统计量及其分布 §6.1 总体与样本§6.2 样本数据的整理与显示§6.3 统计量及其分布§6.4 三大抽样分布例6.0.1 某公司要采购一批产品，每件产品不 是合格品就是不合格品，但该批产品总有一 个不合格品率 p 。由此，若从该批产品中随机抽取一件，用 x 表示这一批产品的不合格数，不难看出 X 服从 一个二点分布B(1 , p).但分布中的参数 p 是不知道的。一些问题： p 的大小如何； p 大概在什么范围内； 能否认为 p 满足设定要求 （如 p 0.05）。 总体 研究对象全体元素组成的集合总体的三层含义：1.研究对象的全体2.数据3.分布总体和样本§ 6.1 总体与个体§6.1例6.1.1 考察某厂的产品质量，以0记合格品， 以1记不合格品，则总体 = 该厂生产的全部合格品与不合格品= 由0或1组成的一堆数 若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率） ，则该总体可由一个二点分布表示：X 0 1 P 1 p p比如：比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：X01p0.9830.017X01p0.9150.085样本 从总体中抽取的部分个体.称 为总体 X 的一个容量为n 的样本观测值,或称样本的一个实现.用 表示, n 为样本容量.个体 组成总体的每一个元素样品、样本、样本量: :样本具有两重性 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的 ，抽 取前无法预知它们的数值，因此，样 本是随机 变量，用大写字母 X1, X2, , Xn 表示； 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确 定的 观测值，因此，样本又是一组数值。 此时用小 写字母 x1, x2, , xn 表示是恰当 的。例6.1.2 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640 克。由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒 净含量均为640克。现从某厂生产的啤酒中随机抽取10瓶测定其净含量，得到如下结果：641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640这是一个容量为10的样本的观测值， 对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。这样的样本称为完全样本。例例6.1.36.1.3考察某厂生产的某种电子元件的考察某厂生产的某种电子元件的 寿命，选了寿命，选了100100只进行寿命试验，得到只进行寿命试验，得到 如下数据：如下数据：表表6.1.26.1.2 100100只元件的寿命数据只元件的寿命数据表5.1.2中的样本观测值没有具体的数值， 只有一个范围，这样的样本称为分组样本。寿命范围 元件数 寿命范围 元件数 寿命范围 元件数( 0 24 4 (192 216 6 (384 408 4 (24 48 8 (216 240 3 (408 432 4(48 72 6 (240 264 3 (432 456 1(72 96 5 (264 288 5 (456 480 2 (96 120 3 (288 312 5 (480 504 2(120 144 4 (312 336 3 (504 528 3(144 168 5 (336 360 5 (528 552 1 (168 192 4 (360 184 1 >552 13Ø 独立性: 样本中每一样品的取值不影 响其它样品的取值 - X1, X2, , Xn 相互 独立。要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很 好地代表总体。通常有如下两个要求：Ø 随机性: 总体中每一个个体都有同等机会 被选入样本 - Xi 与总体X有相同的分 布。-也称代表性，同分布性。样本的要求：简单随机样本若总体 X 的样本 满足:一般,对有限总体,放回抽样所得到的样 本为简单随机样本,但使用不方便,常用 不放回抽样代替.而代替的条件是(1) 与X 有相同的分布(2) 相互独立则称 为简单随机样本.简单随机样本N / n 10.总体中个体总数样本容量设总体 X 的分布函数为F (x),则样本若总体X 的密 d.f.为 f( x),则样本 的联合 d.f.为的联合分布函数为6.2.1 经验分布函数§6.2 样本数据的整理与显示设 X1, X2, , Xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), , x(n)，则称 X(1), X(2), , X(n) 为有序样本，用有序样本定义如下函数 大数定律的应用则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足F Fn n( () = 0 ) = 0 和和 F Fn n( () = 1) = 1由此可见，Fn(x)是一个分布函数， 并称Fn(x)为经验分布函数。例6.2.1 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上 随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）351 347 355 344 351x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 354, x(5)= 355这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本：其经验分布函数为由由伯努里大数定律： 只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。0 ， x 0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为 n 的ch6-66n=2n = 3n = 5n = 10n = 15ch6-67例如分布的性质20.05(10)n = 10性质性质性质性质ch6-68相互独立,证 1设则ch6-69 (3) t 分布 (Student 分布)定义则称 T 服从自由度为 n 的T 分布. 其密度函数为X ,Y相互独立,设t 分布ch6-70t 分布的图形(红色的是标准正态分布)n = 1n=20ch6-71 t 分布的性质1°f n(t)是偶函数,2°T 分布的上 分位数 t 与双测 分位数 t/2 均 有表可查.性质ch6-72n = 10t-tch6-73t/2-t/2/2/2ch6-74(4) F 分布则称 F 服从为第一自由度为n ,第二自由 度为 m 的F 分布. 其密度函数为定义X, Y 相互独立，设令F 分布ch6-75m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10ch6-76F 分布的性质例如事实上,故求F(n,m)性质ch6-77例1 证明证例1ch6-78抽样分布的某些结论() 一个正态总体与相互独立设总体,样本为( )，(1)(2)结论ch6-79 ( II ) 两个正态总体相互独立的简单随机样本.令设与分别是来 自正态总体与的ch6-80则若则(3)ch6-81则相互独立的简单随机样本.设与分别是来 自正态总体与的ch6-82与相互独立ch6-83(4)ch6-84 例4 从正态总体中，抽取了 n = 20的样本(1) 求(2) 求解 (1)即例4ch6-85故(P.386)ch6-86(2) 故ch6-87 例5 设r.v. X 与Y 相互独立，X N(0,16),Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与Y1, Y2 , Y16分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求 统计量所服从的分布.解例5ch6-88从而