【数学】上海市延安中学2013学年度高二第一学期期末考试
1上海市延安中学 2013 学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间：（考试时间：9090 分钟分钟满分：满分：100100 分）分）一、填空题（每题 3 分，共 42 分）1、方程组250 32xy xy的增广矩阵为_.2、抛物线22xy的准线方程是_.3、过点(5,3)P和点( 2,4)Q 的直线的倾斜角为_.4、执行右边的程序框图，输入8k ，则输出S的值是_.5、已知点(4, 3)A和(2, 1)B，点P满足| |PAPB，则点P的轨迹方程是_.6、已知直线30axy过点( 1, 1) ，则行列式13 112 211a的值为_.7、若方程22 146xy kk表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_.8、已知直线1:210lxmy 平行于直线2:(1)10lmxy ，则实数m=_.9、直线3ykx与圆226490xyxy相交于M，N两点，若2 3MN ，则k的取值范围是_.10、若曲线24yx与直线(2)3yk x有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是_.11、点P是抛物线2yx上的动点，点Q的坐标为(3,0)，则PQ的最小值为_.12、一条光线从点( 3,5)A 射到直线:30l xy后，在反射到另一点(2,12)B，则反射光线所在的直线方程是_.213、记直线:(1)10nlnxny *()nN与坐标轴所围成的直角三角形面积为nS，则123lim()nnSSSS =_.14、已知P为椭圆22 :12516xyC上的任意一点，2F为椭圆C的右焦点，M点的坐标为(1,3)，则2PMPF的最小值为_.二、选择题（每题 4 分，共 16 分）15、已知点( 3,0)A 和点(3,0)B，动点M满足| 4MAMB，则点M的轨迹方程是（ ）（A）22 1(0)45xyx；（B）22 1(0)45xyx（C）22 1(0)95xyx；（D）22 1(0)95xyx.16、已知直线1:210laxy 与直线2:230laxy， “2a ”是“1l的方向向量是2l的法向量”的（ ）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件.17、直线2x 与双曲线2 214xy的渐近线交于A、B两点，设P为双曲线上的任意一点，若OPaOAbOB （, a bR，O为坐标原点） ，则a、b满足的关系是（ ）（A）1 2ab ； （B）1 4ab ；（C）221 2ab； （D）221 4ab.18、如图，函数3 3xyx的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（ ）渐近线方程是3 3yx和0x ；对称轴所在的直线方程为3yx和3 3yx ；实轴长和虚轴长之比为3:3；3其共轭双曲线的方程为3 3xyx.（A）1 个； （B）2 个； （C）3 个；（D）4 个.三、简答题（共 42 分）19、 （本题 6 分）已知双曲线与椭圆22 1164xy焦点相同，且其一条渐近线方程为20xy，求该双曲线方程. 20、 （本题 7 分）已知曲线C在y轴右侧，C上每一点到点(1,0)F的距离减去它到y轴距离的差都等于 1，求曲线C的方程. 21、 （本题 7 分）已知直线1:240lxy，求1l关于直线:3410lxy 的对称的直线2l的方程.22、 （本题 10 分，第 1 小题 3 分，第 2 小题 7 分）如图，抛物线的方程为22(0)ypx p.（1）当4p 时，求该抛物线上纵坐标为 2 的点到其焦点F的距离；（2）已知该抛物线上一点P的纵坐标为(0)t t ，过P作两条直线分别交抛物线与11( ,)A x y、22(,)B xy，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：12yy t为定值；并用常数p、t表示直线AB的斜率.423、 （本题 12 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 8 分）如图，已知椭圆C的方程为22 2 21(12)12xybb，且长轴长与焦距之比为3:2，圆O的圆心在原点O，且经过椭圆C的短轴顶点.（1）求椭圆C和圆O的方程；（2）是否存在同时满足下列条件的直线l：与圆O相切与点M（M位于第一象限） ；与椭圆C相交于A、B两点，使得2OA OB .若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由. 5上海市延安中学 2013 学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷答案一、填空题（每题 3 分，共 42 分）1、方程组250 32xy xy的增广矩阵为_125 312 _.2、抛物线22xy的准线方程是_1 2y _.3、过点(5,3)P和点( 2,4)Q 的直线的倾斜角为_1arctan7_.4、执行右边的程序框图，输入8k ，则输出S的值是_70_.5、已知点(4, 3)A和(2, 1)B，点P满足| |PAPB，则点P的轨迹方程是_50xy_.6、已知直线30axy过点( 1, 1) ，则行列式13 112 211a的值为_0_.7、若方程22 146xy kk表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_( 6, 1)_.8、已知直线1:210lxmy 平行于直线2:(1)10lmxy ，则实数m=_2_.9、直线3ykx与圆226490xyxy相交于M，N两点，若2 3MN ，则k的取值范围是_3,04_.10、若曲线24yx与直线(2)3yk x有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是_53, 12 4_.611、点P是抛物线2yx上的动点，点Q的坐标为(3,0)，则PQ的最小值为_11 2_.12、一条光线从点( 3,5)A 射到直线:30l xy后，在反射到另一点(2,12)B，则反射光线所在的直线方程是_3180xy_.13、记直线:(1)10nlnxny *()nN与坐标轴所围成的直角三角形面积为nS，则123lim()nnSSSS =_1 2_.14、已知P为椭圆22 :12516xyC上的任意一点，2F为椭圆C的右焦点，M点的坐标为(1,3)，则2PMPF的最小值为_5_.二、选择题（每题 4 分，共 16 分）15、已知点( 3,0)A 和点(3,0)B，动点M满足| 4MAMB，则点M的轨迹方程是（ B （A）22 1(0)45xyx；（B）22 1(0)45xyx（C）22 1(0)95xyx；（D）22 1(0)95xyx.16、已知直线1:210laxy 与直线2:230laxy， “2a ”是“1l的方向向量是2l的法向量”的（ A ）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件.17、直线2x 与双曲线2 214xy的渐近线交于A、B两点，设P为双曲线上的任意一点，若OPaOAbOB （, a bR，O为坐标原点） ，则a、b满足的关系是（ B 7）（A）1 2ab ； （B）1 4ab ； （C）221 2ab； （D）221 4ab.18、如图，函数3 3xyx的图像是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（ D ）渐近线方程是3 3yx和0x ；对称轴所在的直线方程为3yx和3 3yx ；实轴长和虚轴长之比为3:3；其共轭双曲线的方程为3 3xyx.（A）1 个； （B）2 个； （C）3 个；（D）4 个.三、简答题（共 42 分）19、 （本题 6 分）已知双曲线与椭圆22 1164xy焦点相同，且其一条渐近线方程为20xy，求该双曲线方程. 由已知可设双曲线方程为222xy，由于双曲线与椭圆22 1164xy焦点相同，故0.将其化为标准方程22 12xy ，则有164122，解得8，故双曲线方程为22 184xy.20、 （本题 7 分）已知曲线C在y轴右侧，C上每一点到点(1,0)F的距离减去它到y轴距离的差都等于 1，求曲线C的方程. 8设曲线C上任意一点( , )x y，则有题意可得22(1)1xyx，整理得24yx.又曲线C在y轴右侧，故0x ，从而曲线C的方程为24yx(0)x .21、 （本题 7 分）已知直线1:240lxy，求1l关于直线:3410lxy 的对称的直线2l的方程.由已知可求得直线1l与直线l的交点为(3, 2)，故设直线2l的方程为(3)(2)0a xb y由夹角公式可得2222(2,1) (3,4)( , ) (3,4)342 55 55a bababab，解得22()11aorb舍从而直线2l的方程为2(3) 11(2)0xy，即211160xy22、 （本题 10 分，第 1 小题 3 分，第 2 小题 7 分）如图，抛物线的方程为22(0)ypx p.（1）当4p 时，求该抛物线上纵坐标为 2 的点到其焦点F的距离；（2）已知该抛物线上一点P的纵坐标为(0)t t ，过P作两条直线分别交抛物线与11( ,)A x y、22(,)B xy，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：12yy t为定值；并用常数p、t表示直线AB的斜率.（1）当4p 时，28yx，代入2y ，解得1 2x .则由抛物线定义可知：该点到焦点F的距离即为其到准线2x 的距离，为5 2.9（2）设2 (, )2tPtp(0)t ，由题意0PAPBkk， 即12 2212022ytyt ttxxpp ，由于A、B在抛物线上，故上式可化为12 2222 121211002222ytyt yyttytyt pppp从而有1220yyt，即122yy t 为定值. 直线AB的斜率1212 22 121212222AByyyyppkyyxxyyt pp .23、 （本题 12 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 8 分）如图，已知椭圆C的方程为22 2 21(12)12xybb，且长轴长与焦距之比为3:2，圆O的圆心在原点O，且经过椭圆C的短轴顶点.（1）求椭圆C和圆O的方程；（2）是否存在同时满足下列条件的直线l：与圆O相切与点M（M位于第一象限） ；与椭圆C相交于A、B两点，使得2OA OB .若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由. （1）由已知：2 22 238,42acbc，故椭圆C的方程为22 1124xy；又圆O圆心在原点，半径为2b ，圆O的方程为224xy. （2）存在。设直线:(
