分析、综合法证明三角形全等1

1、掌握利用分析法、综合法和反证法推理证明三角形全等。 2、掌握常见的辅助线做法：延长中线法、截长补短法、构造特殊Rt 法等。一.知识点1. 定义：能够互相重合的两个图形叫做全等图形。2. 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。3. 特殊性质：全等三角形对应角的平分线，对应边上的高线，中线对应相等。4.判定定理：SAS ASA AAS SSS HL5.应用: 利用全等三角形性质证明两条线段或两个角相等。四边形等多边形的问题常常转化成三角形全等问题。能够互相重合的两个三角形叫做全等三角形。一层练习: 如下图,若想证明ABCDEF,则 需在下列横线上填上一些适当条件,以 使推理成立.请完成填空(“ ”表示 “推出”)ABCDEFABCDEFAB=DE B= E _=_=_ BC=EF C=F ABCDEF(SAS)ABCDEF(ASA)(1)(2)BC EF B E(3)(4)_=_ B =E BC = EF AB = DE _=_ AC = DFABCDEF (AAS)ABCDEF (SSS)A DBC EFABCDEFDEFABC下面各图中的两个三角形是全等的，你 能找准他们的对应边和角吗？图形平移形成的全等DEFABC成轴对称形式的全等DEFABC图形只有通过翻转才能看出全等DEFABC图形旋转形成的全等DEFABC常见的三角形“X”型全等小结:(1)三角形全等需要_对条件;其中 至少需要的一对元素是_（2）利用图形平移、旋转等变换方式 找准全等三角形的对应 边和角。(3)启发 :我们在探求解体思路时,可 观察要使题目结论成立还_什么条件,我 们就去寻找或推证出这些条件. 3缺边问题1:寻找这些条件具体怎样去操作呢? 二层练习: 例题:如图在ABC和EFG中 ,AD平分BAC,EH平分FEG,且 BAC=FEG,B=F , AD=EH, 试证明:ABCEFG注: (下面“ ”表示只要证,请在下表空格处填 写适当的条件或结论以使分析过程和证明 过程能成立)ABCDEGHF分析:ABCEFG(结论)B=F(已知)BAC=FEG(已知)B=F(已知)AD=EH(已知)ABCDEFGHAB=EFABDEFHBAD=FEH2BAD=2FEHBAC=FEG(已知)在ABD和EFH中B=F(已知)_ _ (已证)AD=EH(已知) ABDEFH( ) _=_(全等三角形的对 应边相等)ABCD EGHF证明: BAC= FEG(已知) 且AD平分BAC,EH平分FEG _ _ 即有 _ _AAS AB EF2BAD=2FEHABCDEGHF在ABC和EFG中B=F(已知)_=_(已证)BAC=FEG(已知) ABCEFG(ASA)(综 合 法)AB EF已知推理过程探求过程结论综合法分析法过程互逆证明求解问题探求解题途径小结： (1)如图有 三层练习: 例题:如图,已知ADBC,ABDC,直线MN交DA、AB、BD、DC、BC于M、P、E、Q、N，若NQ=MP，求证：DE=BE提示： 平行能提供哪些信息？NQ=MP说明什么问题？内错角相等等信息NQ+QP=MP+QP即NP=MQNMDCBAPQENMDCBAPQEDE可为DEQ、 DEM的边看起来似有： DEQ BEP？(3) DE、BE是哪些三角形的边？这些三角形看起来有何联系？BE可为BEP、BEN的边DEMBEN？N分析过程：讨论完成思路一 DE=BE DEQBEPDEQ=BEPEQD=EPB (ABCD)边EQ=EP?DQ=BP ?DQ=BPMDQ NBPM=N(ADBC)DQM=BPN(ABDC)边相等MQ=NPMP=NQ(已知)MDCBAPQE（对顶角相等）证明: NQ+PQ=MP+PQ 即有NP=MQNQ=MP(已知)又ADBC(已知) 则有M=NABDC(已知)则有DQM=BPN 在DQM和BPN中有 M=N(已证)NP=MQ (已证) DQM=BPN (已证) DQMBPN(ASA)NMDCBAPQEDQ=BP(全等三角形的 对应边相等) 又ABDC(已知)EQD=EPB(两直线平行,内错角相等)在DEQ和BEP中有DEQBEP(AAS)EQD=EPB (已证) DEQ=BEP(已证) DQ=BP(已证) DE=BE(全等三角形的对应边相等)MDCBAPQE而DEQ=BEP(对顶角相等 )N例1 如图ABC是一个钢架，ABAC，AD 是连结点 A和BC中点的支架，求证：ADBC ABCD证明：在ABD和ACD中，ABAC（已知）ADAD（公共边）DBDC （已知） ABD ACD（SSS）1= 2(全等三角形对应角相等）1=BDC900（平角定义）AD BC（垂直定义）问：除可证得AD BC外，还可得到哪些结论？12练习1 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB DE，ACDF，BECF。求证：AD。证明：BECF（已知）即 BCEF 在ABC和DEF中 ABDE（已知）ACBF（已知）BCEF（已证）ABCDEF（SSS）AD(全等三角形对应角相等）FABECD小结：欲证角相等，转化为证三角形全等。 BE+EC=CF+EC例3，如图，已知ABCD，ADCB，求证：BD 证明：连结AC,ABCD（已知）ACCA（公共边）BCAD（已知） ABC CDA（SSS） BD（全等三角形对应角相等）问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？在原有条件下，还能推出什么结论？答：ABCADC，ABCD，ADBCABCDABCD在ABC和 ADC中小结：四边形问题转化为三角形 问题解决。探究1、如图池塘两端A、B无法直接达 到，因此这两点的距离无法直接量出。ABCED任取一点C 连结AC、BC 延长AC至D使CD=CA 延长BC至E使EC=BC 连结ED这样只要量出ED的长就 是AB的长。为什么？探究2 已知：如图，AD与BE交于F，AF=BF， 1=2.求证：AC=BCABDCE F 12证明： AFE=BFD （对顶角相等） 又 1=2 （已知） AFE+1=BFD+2 （等式性质） 即 AFC=BFC 创造 全等 条件在AFC与BFC中 AF=BF （已知） AFC=BFC （已证） CF=CF （公共边） 列齐全等条件 AFCBFC （SAS） 得出结论 AC=BC AFCBFC探究3 已知：点A、E、F、C在同一条直线上， AD=CB，ADCB，AE=CF. 求证：EBDF ADBCE F证明： ADCB（已知） A=C AE=CF （已知） AE+EF=CF+EF 即 AF=CE 在AFD与CEB中 AF=CE （已证） A=C （已证） AD=CB（ 已知）AFD CEB AFD=CEB EBDF 练习1、如图， ABC= DCB， ACB= DBC， 试说明 ABC DCB ADCB证明： ABC= DCB，BC=BC， ACB= DBC ABC DCB（A.S.A）解：在AOC与BOD中， A=B （已知） AO=BO （已知） AOC=BOCAOCBOD （ASA）AC练习2、如图，已知AB与CD相交于点O，AO=BO，A=B，说明AOC与BOD全等的理由。OBD（对顶角相等）解：在ABD和ACE中，B=C（已知）AB=AC （已知）A=A（公共角） ABDACE （ASA）练习3、已知AB=AC，B=C， 说明ABDACE的理由ABDCE解：在ABC和DBC中， A=D （已知）ABC=DBC （已知）BC=BCABCDBC （AAS） （公共边）练习4、如图，已知ABC=DBC，A=D， 说明ABC与DBC全等的理由。CABD练习、如图，已知DE AC，BF AC，E、F是 垂足，AE = CF，DCAB，试说明：DE = BFADCBEF解： DE AC，BF AC AFB= CED=900 AE=CF AE-EF=CF-EF即：AF=CE DC AB BAF= DCE ABF CDE（A.S.A.）练习、已知，AC、BD相交于O，BO=DO，CO=AO， 现在过O任作一直线EF分别交BC、AD于E、F，问：OE、 OF有什么关系？试证明你的结论。OFEDCBA解答：OE = OF证明： BO=DO， BOC = DOA，CO = AO BOC DOA（S.A.S.） B= D （全等三角形的对应角相等） OB=OD， BOE= DOF BOE DOF（A.S.A.） OE=OF（全等三角形的对应边相等）课后练习2：如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是 否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配到一块 与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合 适？为什么？课后练习1：如图，O是AB的中点， A= B， AOC与 BOD全等吗？为什么？O ACDB 课后练习3：如图，ADBC，BEDF，AE=CF，试说明 AD=BCFEDCBA课后练习4、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断 它们全等的是（ ）A、顶角、一腰对应相等。B、底边、一腰对应相等。C、两腰对应相等。D、一底角、底边对应相等。作业 求：DBE的度数.ACBD1 如图，A、B、C三点在一条直线上，DAAC， ECAC，AB=CE，AD=CB. EBCEA2 如图，A、B、C三点在一条直线上，AD=AE，AC平 分DAE，图中有多少对全等三角形？证明你的结论.D合作交流在ABC和DCB中,已经存在了一个等 量关系，请同学们观察一下,并写出来 _ ，然后小组讨论一下,如果再增 加一些什么条件,就能证明这两个三角形 全等,并写出其中一种证明方法.ABCD小结: 充分读懂题目和图形的已有信息及 隐含信息有助于进一步分析和解决 问题。达标测评： 1、如图AB=CD,AD=BC,求证：ABCD ACBD(请口述分析过程 不要求具体证明)2、如图，点B、E、C在同一条直线上， B=C=90°,BE=CD,AB=EC,求证： AED是等腰直角三角形(独立分析证明)ABECD在ABE和ECD中AB=EC(已知) B=C(已知) BE=CD(已知)证明：ABEECD(SAS) AE=ED, BAE=CED 又BAE+BEA=180°-B=180°-90°=90° CED +BEA =90°ABEC