典型例题与习题2

1/12三、四章内容提要典型例题分析思考题与练习题数值分析典型例题 II2/12一、解线性方程组直接法=顺序消元法、列主元法、追赶法矩阵的直接分解、对称矩阵 的LU分解二、向量和矩阵的范数向量范数、算子范数、三种 矩阵范数、矩阵的条件数三、解线性方程组迭代法Jacobi迭代、Seidel迭代、SOR迭代、迭代收敛性、 初等变分原理、最速下降法、共轭梯度法*3/12定理3.1 约化主元ak+1,k+1(k) 0 (k=0,1,···,n-1)的 充分必要条件是 矩阵A的各阶顺序主子式不为零.消元法使用的条件定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解若|B| 1 )L1=1,U1 = a11求的 LU 分解.Ex2. 设 n 阶矩阵 A 是严格主对角占优矩阵。高斯消 元法一步后,A约化为 证明 A2 也是严格主对角占优矩阵。 5/12Ex3. 设A=(aij)n×n 为可逆下三角矩阵，证明A- 1 仍为下三角矩阵。 证明: 设当i > j 时, aij 的代数余子式 Aij = 0,故A 的伴随矩阵的右上角元素均为零,所以A的逆矩阵仍是下三角阵6/12Ex4 构造快速求逆算法Ex5 LU分解并求逆7/12Ex6.设A是一个可逆矩阵，矩阵序列满足Xk+1=Xk(2I A Xk )，（k =0，1，2，） 证明:当 时证明：由Xk+1=Xk(2I A Xk )，得I AXk+1 = I A Xk(2I A Xk )= (I A Xk )2 于是I AXk =(I A Xk -1)2=(I A Xk -2)2×2 = ··········8/12Ex7 设 AR n×n 为对称正定矩阵,定义| x |A =证明 | x |A 是 R n 上的一种向量范数。9/12Ex 8. 统计高斯消元法求解Toeplitz对称三对角方程组 的计算工作量。Ex9 .设 A=(aij)n×n为可逆上三角矩阵，证明A-1 仍为上三角矩阵。 Ex10 . 求上三角矩阵的逆阵10/12Ex12 :求矩阵的 2-范数, 以及2-范数意义的条件数Ex11 .求四阶矩阵的逆阵11/12Ex13 证明 n 阶矩阵的特征值为( k = 1,2,···, n ) Ex14 求n阶矩阵的特征值12/12(1) A1 = B ( I + R + R2 + )；(2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式Xk+1 = Xk R + B ( k = 0，1，2， ) 产生的矩阵序列 Xk 收敛到矩阵A-1；(3)对矩阵序列 Xk ，有误差估计式ex15:设A是n阶可逆矩阵,有A的一个近似逆B,令 R=I AB如果 | R | q <1 ，试证明