1随机事件及其运算、概率的统计定义、古典概型

1654年,一个名叫梅累的法国狂热赌徒兼骑 士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便 算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b 局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求 教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于 1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望.一、概率论的诞生及应用1. 概率论的诞生而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯 1629-1695亦用自己的方法解决了这一问题，更写成 了论赌博中的计算一书，这就是概率论最早的论着 ，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望 mathematical expectation这一概念，并由此奠定了 古典概率论的基础。 使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学 家雅各布-伯努利1654-1705。他的主要贡献是建 立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大 数定理”，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的 趋势”。这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的 遗著猜度术中。 到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作分 析杂论，当中包含了著名的“棣莫弗拉普拉斯定 理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初 形。而接着拉普拉斯在1812年出版的概率的分析理 论中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外， 他又和数个数学家建立了关于“正态分布”及“最小二 乘法”的理论。另一在概率论发展史上的代表人物是 法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研 究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他 们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利 大数定律及中心极限定理。 概率论发展到1901年，中心极限定理终于被严格 的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地 解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以 正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机 过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠 定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展 史上亦作出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率 及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从 而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个 非常庞大的数学分支。 前 言人类的社会实践使人们逐步认识到自然现象和科学实验的结果等，并非都是确定的，经常会碰到在相同条件下可能 得到多个不同结果的情形。然而在进行了大量观察或多次重 复试验后，人们逐步发现这些在一次观察或试验不能肯定结 果的现象具有近乎必然的客观规律。而且发现应用数学的方 法可以研究各种结果出现的可能性大小，从而发展了研究偶 然现象规律性的学科概率论和数理统计。当代科学和电子技术的发展使概率统计的方法在各领域得到了广泛地应用，比如投资风险的估计，生产质量的控制， 生物学、遗传学、医学等方面的统计，等等。随机事件及其运算随机现象在一次试验中不能确定其结果，但在相同条件下做大量重复的试验，结果会呈现出规律性的现象。随机试验在一定条件下，对随机现象进行的观察或试验。（简称试验）随机事件在随机试验中，可能出现也可能不出现，但在大量重复试验中具有某种规律性的结果的事件。（简称事件）为方便起见，也把在一次试验中一定出现的事件必然事件 和在一次试验中必然不出现的事件不可能事件当成随机事件。随机试验的每一个可能的结果。样本空间 全体样本点的集合。样本点 例1 掷两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。例1* 掷两枚均匀的硬币，观察它们出现的正面数目的情况。（正、正），（正、反）， （反、正）， （反、反）不同的观察目的表示不同的试验，因此对应的样本空间也可以不同。随机事件及其运算随机事件 样本空间的子集特别地： 必然事件 不可能事件 基本事件例2 掷骰子一颗，观察其点数。表示事件 点数为 3 表示事件 点数为偶数 （基本事件）随机事件及其运算随机事件的关系及运算称事件 A 包含于事件 B 中，或事件 B 包含事件 A ，或A 是 B 的子事件。 事件 A 出现必导致事件 B 出现。 且 事件 A 和事件 B 至少有一个出现。称作A 和 B 的和事件或并事件。例2 掷骰子一颗，观察其点数。若则随机事件及其运算随机事件的关系及运算 事件 A 和事件 B 同时出现。也记作称作A 和 B 的积事件或交事件。例2 掷骰子一颗，观察其点数。若则 事件 A 出现但事件 B 不出现。称作A 与 B 的差事件。随机事件及其运算随机事件的关系及运算 事件 A 和事件 B 不能同时出现。称A 与 B 为互不相容事件或互斥事件。且称A 与 B 为互逆事件或对立事件。记且称 为一个完备事件组。此时， 也记作：随机事件及其运算如 也可记作：例3 掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的正反面情况。解：以 H 表示正面，T 表示反面，则若 A 表示硬币出现正面 ，B 表示硬币出现反面 C 表示硬币出现正面且骰子点数为 5 则 A 与 B 互逆（对立），B 与 C 互斥（互不相容）。随机事件的关系及运算随机事件及其运算A 与 C 相容且 C 是 A 的子事件。随机事件的运算规律（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）摩根律（对偶律）练习：P24-25 16随机事件在一次试验中，可能出现也可能不出现，但在大量重复试验中具有某种规律性的结果，假设事件 A 在 次试验中出现 次，则它出现的频率：能反应出事件出现的可能性的大小。如：P8 表1-1 及 表1-2，当 足够大时，定义：事件 A 的概率为以上的方法是求事件的概率的一般方法，若概型比较特殊，则还可根据问题的实质确定事件的概率。概率的统计定义考察如下几个试验：抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。掷骰子一颗，观察其点数。掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。它们都具备如下特点：（1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。（2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。满足这些条件的数学模型称作古典概型。古典概型古典概型的概率定义设一古典概型的试验结果共有 个基本事件，而事件 A 由其中的 个基本事件组成，则事件 A 的概率为：例4 从全体三位数中任取一个数，求下列事件的概率：（1）三位数中三个数字没有重复；（2）三位数中恰有两个数字相同。解：全体三位数共有 个，其中没有重复数字的有个，恰有两个数字相同的有 个。所以：（1）所求概率为：（2）所求概率为：例5 包括甲、乙在内的10 个人随机地排成一行，求甲与乙相邻的概率，若这10 个人随机地排成一圈，又如何？解：（1）10 人排成一行，共有 种排法，其中甲与乙种，故所求概率为相邻的的排法有 种。 故所求概率为（2）若这10 个人随机地排成一圈，则排法有例6 某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票, 求同学MM抽到门票的概率.解：制作 20 张外观无差异的纸签，其中三张代表门票。20 个同学抽签共有 20！种方式，同学MM抽到门票有 种抽法，其它同学抽取余下的签有 19！种方式。故所求的概率是：原来不必 争先恐后！例7 某班有30 个同学，求他们生日“无重复”的概率。 （一年按365天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的）解：所有可能的结果有 事件：生日“无重复”对应的 结果有故生日“无重复” 的概率为：当人数为 40 时， 生日“无重复” 的概率为：0.11当人数为 50 时， 生日“无重复” 的概率为：0.03当人数为 20 时， 生日“无重复” 的概率为：0.59当人数为 10 时， 生日“无重复” 的概率为：0.88例8 把 4 个小球随机放入 4 个盒内，求恰有一空盒的概率。解：把 4 个小球随机放入 4 个盒内，共有 种方式，从 4 个盒中选出一个空盒，共有 种方法，从余下的 3 个盒中再选出一个，并在 4 个球中选两个放进去，有 种方法，剩下的两个盒各放一球有 2！种方式。故所求的概率是：（设小球和盒均可分辩）例9 从一堆小零件中取 80 个，作记号后放回，再随机取 90 个，发现 2 个有记号，试据此估计这堆零件的数目。解：设零件的数目为A 表事件：取到一个有记号的零件由统计概率，由古典概率，即：（件）作业 第2425页：1；8；9