()线性方程组求解

6.2 线性代数问题求解 矩阵 线性方程组的直接解法 线性方程组的迭代法 线性方程组的符号解法 稀疏矩阵技术 特征值与特征向量6.2.1 矩阵 1 特殊矩阵的输入 数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵生成nn方阵：A=zeros(n), B=ones(n), C=eye(n)生成mn矩阵：A=zeros(m,n), B=ones(m,n), C=eye(m,n)生成和矩阵B同样位数的矩阵：A=zeros(size(B) 随机元素矩阵若矩阵随机元素满足0,1区间上的均匀分布生成nm阶标准均匀分布为随机数矩阵：A=rand(n,m)生成nn阶标准均匀分布为随机数方阵：A=rand(n)对角元素矩阵已知向量生成对角矩阵：A=diag(V)已知矩阵提取对角元素列向量：Vdiag(A)生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵：A=diag(V,k) 例：diag( )函数的不同调用格式 >> C=1 2 3; V=diag(C) % 生成对角矩阵 V =1 0 00 2 00 0 3 >> V1=diag(V)' % 将列向量通过转置变换成行向量 V1 =1 2 3 >> C=1 2 3; V=diag(C,2) % 主对角线上第 k条对角线为C的矩阵 V =0 0 1 0 00 0 0 2 00 0 0 0 30 0 0 0 00 0 0 0 0生成三对角矩阵: >> V=diag(1 2 3 4)+diag(2 3 4,1)+diag(5 4 3,-1)V =1 2 0 05 2 3 00 4 3 40 0 3 4Hilbert矩阵及逆Hilbert矩阵生成n阶的Hilbert矩阵： A=hilb(n)求取逆Hilbert矩阵：B=invhilb(n)Hankel(汉克 ) 矩阵其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各 个元素定义为R。H为对称阵。H1=hankel(C)由 Hankel 矩阵反对角线上元素相等得出一下三角 阵均为零的Hankel 矩阵Vandermonde(范德蒙)矩阵伴随矩阵其中：P(s)为首项系数为一的多向式。 符号矩阵的输入数值矩阵A转换成符号矩阵：B=sym(A) 例： >> A=hilb(3) A =1.0000 0.5000 0.33330.5000 0.3333 0.25000.3333 0.2500 0.2000 >> B=sym(A) B = 1, 1/2, 1/3 1/2, 1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/52 矩阵基本概念与性质 行列式格式 ：d=det(A)例：求行列式>> A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; det(A) ans =0 例：>> tic, A=sym(hilb(20); det(A), toc ans = 1/23774547167685345090916442434276164401754 1983775348649303318533123441975931064458 5187585766816573773440565759867265558971 7656384197107933033865823241498112410235 5448916615471780963525779783680000000000 0000000000000000000000000 elapsed_time =2.3140 高阶的Hilbert矩阵是接近奇异的矩阵。 矩阵的迹格式： t=trace(A) 矩阵的秩格式：r=rank(A) 用默认的精度求数值秩r=rank(A， ) 给定精度下求数值秩矩阵的秩也表示该矩阵中行列式不等于0的子式的最大阶 次。可证行秩和列秩（线性无关的）应相等。 例>> A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; rank(A) ans =3 该矩阵的秩为3，小于矩阵的阶次，故为非满秩矩阵。 例>> H=hilb(20); rank(H) 数值方法 ans =13 >> H=sym(hilb(20); rank(H) % 解析方法，原矩阵为非奇异矩阵 ans = 20 矩阵范数 矩阵的范数定义：格式：N=norm(A) 求解默认的2范数N=norm(A，选项) 选项可为1,2,inf等 例：求一向量、矩阵的范数 >> a=16 2 3 13; >> norm(a), norm(a,2), norm(a,1), norm(a,Inf) ans =2.092844953645635e+001 2.092844953645635e+001 3.400000000000000e+001 1.600000000000000e+001>> A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; >> norm(A), norm(A,2), norm(A,1), norm(A,Inf) ans =34 34 34 34符号运算工具箱未提供norm( )函数，需先用double( ) 函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm( )函数。 特征多项式格式： C=poly(A)例：>> A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; >> poly(A) 直接求取 ans = 1.000000000000000e+000 -3.399999999999999e+001 -7.999999999999986e+001 2.719999999999999e+003-2.819840539024018e-012 >> A=sym(A); poly(A) 运用符号工具箱ans =x4-34*x3-80*x2+2720*x 矩阵多项式的求解 符号多项式与数值多项式的转换格式：f=poly2sym(P) 或 f=poly2sym(P,x) 格式： P=sym2poly(f) 例：>> P=1 2 3 4 5 6; % 先由系数按降幂顺序排列表示多 项式 >> f=poly2sym(P,'v') % 以 v 为算子表示多项式 f = v5+2*v4+3*v3+4*v2+5*v+6>> P=sym2poly(f) P =1 2 3 4 5 6 矩阵的逆矩阵格式： C=inv(A)例： >> format long; H=hilb(4); H1=inv(H) H1 =1.0e+003 *0.01600000000000 -0.11999999999999 0.23999999999998 -0.13999999999999-0.11999999999999 1.19999999999990 -2.69999999999976 1.679999999999840.23999999999998 -2.69999999999976 6.47999999999940 -4.19999999999961-0.13999999999999 1.67999999999984 -4.19999999999961 2.79999999999974检验： >> H*H1ans =1.00000000000001 0.00000000000023 -0.00000000000045 0.000000000000230.00000000000001 1.00000000000011 -0.00000000000011 0.000000000000110.00000000000001 0 1.00000000000011 00.00000000000000 0.00000000000011 -0.00000000000011 1.00000000000011 计算误差范数： >> norm(H*inv(H)-eye(size(H) ans =6.235798190375727e-013>> H2=invhilb(4); norm(H*H2-eye(size(H) ans =5.684341886080802e-014>> H=hilb(10); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H) ans =0.00264500826202 >> H2=invhilb(10); norm(H*H2-eye(size(H) ans =1.612897415528547e-005>> H=hilb(13); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 2.339949e-018. ans =53.23696008570294 >> H2=invhilb(13); norm(H*H2-eye(size(H) ans =11.37062973181391 对接近于奇异矩阵，高阶一般不建议用inv( )，可用符号工具箱。>> H=sym(hilb(7); inv(H)ans = 49, -1176, 8820, -29400, 48510, -38808, 12012 -1176, 37632, -317520, 1128960, -1940400, 1596672, -504504 8820, -317520, 2857680, -10584000, 18711000, -15717240, 5045040 -29400, 1128960, -10584000, 40320000, -72765000, 62092800, -20180160 48510, -1940400, 18711000, -72765000, 133402500, -115259760, 37837800 -38808, 1596672, -15717240, 62092800, -115259760, 100590336, -33297264 12012, -504504, 5045040, -20180160, 37837800, -33297264, 11099088>> H=sym(hilb(30); norm(double(H*inv(H)-eye(size(H) ans =0 例：奇异阵求逆 >> A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; >> format long; B = inv(A) Warning: