对两类常见电磁学问题的探讨

对两类常见电磁学问题的探讨陈颖 0103在电磁学解题中，同学往往习惯套用公式 ，而忽略了其内在含义这里给出了两类习 题的基本解法，并对它们进行深入的探讨。摘 要【一一】导体电极分区介质问题中的 重要性 在具体应用课本介绍的两种典型分区 介质的解法时，同学往往忽略外层导 体介质的存在。现以具体例题讨论其 重要性如下。例题 一球形电容器带电量为Q0，两极之间充满介电 常数分别为1、2的两种介质。介质界面 与球心共面（见下图）。求介质中的D与E的 分布。常规解法由于介质界面与电场线重合，且属于一维对称情况，电场 强度沿径向方向，因此运用公式有：0E(1+2)·2r2=Q0(为到球心的距离) 则区域中：D2=02E=1区域中：D1=01E=在上题中，用到了“介质界面与电场线重合时 ， ”这一结论。这里，由于静电场的 唯一性定理，可以给出证明。由于与介质面重合，因而在介质界面没有 法向分量， 界面上极化电荷为零。 由 知： 在r1处：1区域 2区域 区： 区： r1表面电荷密度分布为： 区： 区： 两值相等。同理计算r2表面电荷分布 可得： 区： 区：可见，由于存在不同的电 介质，极化面电荷会出 现差异，但是内外导体自 由电荷分布的自动调整， 会使内、外导体面处的总 电荷分布是球形对称的。 这样电场的分布必然是球 形对称的。 对于例题这种解法行之有效。但 我们设想去掉例题1中球外r2处导 体，情况会变成什么样呢？ 例题2 如下图，只有r1处有带电Q0的导体球，其它 条件同例题1。 如果我们仍按例题1来解，可算得 r2上极化电荷： 区： 区： 因为r2处无自由电荷，故 总电荷分布不对称。可见内球壳r1处的总电荷是均匀分布 的，它们对空间场强的贡献是球形对称的 。而在外球壳r2处总电荷密度不均匀，因 此它们对场强的贡献不是球形对称的。内 外层贡献叠加的总场强必然不是球形对称 的。与计算所得场强分布矛盾。结 论 该方法对例题2的情况（球外无导 体壳） 不适用。 例题1与例题2区别在于例题1有导 体壳提供自由电子，是自由电子 自动调整才使E球形对称。所以要 具备电子调整的条件，使外壳成 为等势面，这是此类习题的一特 点。分析 题中介质是无限的，能否运用上述方法 呢？答案是肯定的。因为无限远处也是 一等势面，而且无限远处的电荷对系统 不构成影响，由此解出 Q=E0(1+)2r2，符合要求。有由 静电场中唯一性定理，可知这就是此题 的唯一解。所以，无论是介质趋向无限 远处，或外包导体，都可以用此法来求 解。 同样的问题也出现在静磁场中。例题例题3 3. . 一介电常数为一介电常数为的半无限电介质界面上有的半无限电介质界面上有 一点电荷一点电荷Q Q，求空间电场分布。求空间电场分布。例题4. 在同轴电缆中填满磁导率为1和 2的两 种磁介质，各占一半空间，并介质 面为通 过电缆轴的平面。设通过电缆的电 流强度 为I，求解之中磁场的分布。【二】以能量转换与守恒原理为 基础的楞次定律 电磁感应现象中感应电流方向的 判定常用楞次定律，通常有“来 拒去留”和“跟动”的说法。但 在不同的介质中尚需做具体分析 ，以下是超导介质中的一例。例题5条形磁铁沿导体圆环中心轴线进入后 又穿出， 分析环中感应电流方向及两个过程磁 铁与环 之间的相互作用。分析 磁场力一直对磁铁做负功，磁铁功能 的减少向线圈中的电能转化，而电能 最终又在电阻上成为焦尔热。上题中，“来拒去留”的方法的 确适用，而且十分方便。但是不 是一种放之四海而皆准的法则呢 ？例题6如下图，用超导材料制成的闭合线圈放置 在防磁装置中,可以认为不受周围其他 磁场的作用，有一个小条形磁铁沿线圈 的轴线从左向右穿过超导线圈，并远离 线圈，开始时线圈中无电流。分析 超导体无电阻，其自身并不消耗电 能，它是一个贮能环。这时，环中 感应电流不再与电动势成正比，电 流是逐渐积的。完全进入时，环中 电流达到了最大。关于这一点，也可以用麦克斯韦电磁 场理论来讨论： a. 当完全进入时，E=0，电子速 度最大，i最强 b. 离开过程，磁铁引起线圈中变化 磁场产生逆时针的电场E，电子开 始受到与运动方向相反的电场力作 用，但电子不会立即改变运动方向 ，其将做逆时针的减速运动，故电 子方向还是与刚才的方向相同，只 是强度小了。 进一步分析：进入过程，磁铁动能 的减少转化为超导体环中的电能； 离开过程，贮存在超导环中的电能 又重新转化为磁铁的动能。符合能 量守恒。综上，就电磁感应现象中的 相互作用问题，用“来拒去留 ”的效果判定并不广泛成立。归根结底还是要依据能量的 转化与守恒来判断.