[数学]线性代数 5

第四章 线性方程组的解 线性方程组解的存在性 线性方程组解的结构4.1线性方程组解的存在性4.1.1非齐次与齐次线性方程组齐次线性方程组：非齐次线性方程组：若为方程 的解，则称为方程组的解向量。则矩阵B称为方程组的增广矩阵若记4.1.2线性方程组解的存在定理若为方程组 的解则则例1 求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解解1.高斯消元法 引例 求解线性方程组线性方程组的解法用“回代”的方法求出解：称为方程组的通解。1.线性方程组的初等变换因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算 若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换用“回代”的方法求出解：2.高斯-约当消元法例2 求解齐次线性方程组解即得与原方程组同解的方程组即例 求解非齐次方程组的通解解 对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为增广矩阵一般,设有线性方程组( )( )BrArÛ无解.bAx =( )( )BrAr=Û有解.bAx =( )( )nBrAr=Û( )( )nBrAr<=Û有无穷多解.bAx =( )( )nBrAr=Û ( )( )nBrAr<=Û有无穷多解.bAx =非齐次线性方程组齐次线性方程组3.小结( )( )BrArÛ无解.bAx =例4 设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：练习证明:对增广矩阵进行初等行变换且在有解的情况下,原方程组等价于方程组一.齐次线性方程组解的性质性质1若 为 的解，则 也是 的解.证明4.2.1齐次线性方程组解的结构4.2线性方程组解的结构性质2若 为 的解， 为实数，则也是 的解证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间证毕.基础解系的定义二、基础解系及其求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关 于是 可化为现对 取下列 组数：依次得从而求得原方程组的 个解：下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基由于 个 维向量线性无关，所以 个 维向量 亦线性无关.由于 是 的解 故 也是 的 解.所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.说明解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的基础解系若 是 的基础解系，则 其通解为 定理1例1 求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有例2 解线性方程组解对系数矩阵施 行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为例3证证明非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证毕其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为与方程组 有解等价的命题线性方程组 有解线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法例4 求解方程组解解例5 求下述方程组的解所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组求齐次方程组基础解系令依次得求特解所以方程组的通解为故得齐次方程组基础解系另一种解法则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形由于令（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有 个线性无关的解向量故为齐次线性方程组的一个基础解系.( )( )nBRAR= ( )( )nBRAR<= 线性方程组解的情况思考题思考题解答