对数函数与指数函数的导数

对数函数与指数函数的导数一、复习与引入：1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式.3.导数的四则运算法则.4.复合函数的导数公式.5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 数的可导性.结合前一章节的知识,我们可知,初等函数 在其定义域内都是连续而且可导.二、新课指、对函数的导数：1.对数函数的导数:下面给出公式的证明,中间用到重要极限 证:证:利用对数的换底公式即得:2.指数函数的导数:由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求 导法则,这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这 里我们不加以证明,直接拿来使用.三、例题选讲：例1:求下列函数的导数:(1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg(3)y=e2xcos3x (4)y=a5x解:(1)(2)法1:(2)法2:(3) (4)例2:求下列函数的导数:解 :解:设y=au,u=cosv,v=1/x,则:解:解:函数的定义域为例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数:(1)y=f(lnx); (2)y=f( ); (3)y=f(ex) .解:(1)(2 )(3)解此类题应注意: (1)分清是由哪些函数复合而成的. (2)用逐步的方法来进行求导.练习1:求下列函数的导数:答案:例4:设一质点的运动规律为 为常数,试求t=1/2时质点运动的速度v0.解 :故当t=1/2时,质点运动速度v0为:例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程. 解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0).故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1.由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为 (1,0).所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0.答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0.练习2:分别求曲线y=logxe; 在点(e,1)处的切线方程.延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离. 答案:四、小结：(1)对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较难的两类函数的导数,要熟记公式,会用公式,用活公 式. (2)解决指、对数函数的导数问题,应充分重视指数、对数的运算性质的准确使用,以保证变换过程的等价性.(3)在求指、对数函数的导数过程中,要遵循先化简,再求导的原则;要结合导数的四则运算法则和复合函数的求导法则进行求导.例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=f(x)g(x).解:(1)两边取对数,得lny=xlnx. 由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式 两边对x求导,可得:(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,y=f(x),则(2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先两边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数: 形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函数,取对数后,可将积转化为和的形式,或 ,取对数后,可转化为代数和的形式. 无理函数或形如y=f(x)g(x)这类幂指函数.(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求导变为可能(无求导公式变为有求导公式).例如我们利用上面例题中的(2)可知 中的n的范围可以扩大到全体实数.又如下面一题我们就有两种不同的解法:方法二:由于y>0,故可以两边取对数.题目:已知00,故两边取对数,得方法二: