高等数学上3.7平面曲线的曲率

上页下页结束返回首页第七节曲线的弯 曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容:一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率第三章 上页下页结束返回首页一、 弧微分设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长上页下页结束返回首页则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:上页下页结束返回首页二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量)弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1、曲率的定义)弧段弯曲程度与 有关.转角、弧段长度上页下页结束返回首页)yxo（设曲线C是光滑的，（定义曲线C在点M处的曲率上页下页结束返回首页2、曲率的计算公式注意:(1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大.（课本P170）)yxo上页下页结束返回首页例1(P171-2)解显然,上页下页结束返回首页三、曲率圆与曲率半径定义上页下页结束返回首页1. 有共同的切线，亦 即圆与曲线在点M处 相切.曲率圆与曲线在点M处有以下关系：2. 有相同的曲率.3. 因此，圆和曲线在 点M处一阶导数相同、 二阶导数同号.上页下页结束返回首页例2解如图,受力分析视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径上页下页结束返回首页得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.上页下页结束返回首页运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学 分支微分几何学.小结1. 弧长微分或2. 曲率公式3. 曲率圆曲率半径上页下页结束返回首页思考题椭圆 上哪些点处 曲率最大？思考题解答要使 最大， 必有 最小，此时 最大，上页下页结束返回首页补充:参数方程曲率公式上页下页结束返回首页作业: P177: 2, 5, 8 上页下页结束返回首页选讲： 曲率圆与曲率半径 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使上页下页结束返回首页设曲线方程为且求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心设点M 处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式 .上页下页结束返回首页由此可得曲率中心公式(注意与异号 )当点 M (x , y) 沿曲 线 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停上页下页结束返回首页例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解: 设椭圆方程为由例3可知, 椭圆在处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为显然, 砂轮半径不超过时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.上页下页结束返回首页( 仍为摆线 )例5. 求摆线的渐屈线方程 . 解:代入曲率中心公式 , 得上页下页结束返回首页摆线半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点 M 的轨迹即为摆线 .参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停上页下页结束返回首页内容小结曲率中心上页下页结束返回首页点击图片任意处播放暂停例2上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页证如图（在缓冲段上,实际要求上页下页结束返回首页