大学计算机基础——基本概念及应用思维解析
大学计算机基础大学计算机基础 基本概念及应用思维解析基本概念及应用思维解析东南大学第第4 4章章 认识计算机认识计算机本章主要知识点· 计算机的基本组成与内部结构 · 计算机的基本工作原理 · 计算机中数据的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算现代计算机是数字计算机，在计算机中 的一切数据和信息都是以数字的形式存放和 处理的。因此，计算机中数的表示成为认识 和理解计算机的基础。数字的表示和处理（运算）属于数学范 畴，因此，计算机中数的表示和处理问题本 质上是数学的基本计算问题。 进位计数制 什么是计数 ？ 如何计数？ 进位计数制（进位计数方法）进位计数制的基本思想是，首先定义一个有限 的计数方法，然后在此基础上再定义一个扩展该有限 计数方法的方法，从而完成无限的计数。扩展有限计 数方法的方法一般都是通过并列多个有限计数方法实 现。为了区分并列的多个有限计数方法的实际含义， 对每一个有限计数方法赋予一个特定值，通过该值与 有限计数方法的组合实现完整的计数。可见，这种方 法既有利于记忆，又有利于减少表达量和扩展。计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算基本的有限 计数方法扩展方向每个基本的有限计数方法 称为 位，每位规定一个特殊值 ，称为位权高位低位计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算进位计数制的本质是一种递归的思想。递归思想是逻辑 思维的核心。进位计数制的两个核心概念是基数和位权。基数对应于 有限的计数方法，即一个有限计数方法能够计数的数量；位 权对应于扩展有限计数方法的方法，即将每一个并列的有限 计数方法称为一个位，并给每一个位对应一个特定值。基数 和位权的理解，是计算的根本。计算本质上是基数和位权的 应用。位权是通过基数定义的，一般是基数的幂。位权反映了 多个有限计数方法并列的实际含义，即每个有限计数方法（ 一个位）在最终计数值中的具体计数起点值。计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算假设基数用b表示，各位分别用ai表示（0 ai b-1）， 则一个进位计数制数N可以表示为：N = anbn+an-1bn-1+a1b1+a0b0+a-1b-1+a-2b-2+a-mb-m= 其中，m是负整数、n是正整数。在一个进位计数制中，每个 数字所表示的值是该数字与它相应的权的乘积，上述公式中的数 字ak表示的值是akbk（-m k n）。计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算在上述公式中，当b为十时称为十进制进位计数法（简称十进制）。十 进制是人类最熟悉的计数方法。它的基数是10，它的位权是、10-2、 10-1、100、101、102、。它表示基本的有限计数方法中，最多计数十 个量，分别表示为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。如果需要计算的量超 过十个，则需要扩展，即并列两个基本的有限计数（两位）。两个基本的 有限计数能够表达的量是十和十的组合，即一百。以此类推。 十进制十进制计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算BA基本的有限 计数(09)扩展方向两个基本的有限计数方法的组合，可以扩大计数范围，即 1010种。由于B是对A的扩展，因此，B的1相当于A的10高位低位扩展的另一个 基本的有限计 数(09)计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算十进制的基本计数规则是，逢十进一， 借一当十。十进制的所有运算都是建立在此 基础上。十进制数666.66表示为 6102+6101+6100+610-1+610-2 。在与计算机相关的资料中，十进制数表 示可以是101、101D、(101)10 十进制十进制在上述公式中，当b为八时称为八进制进位计数法（简称八进制）。八进 制的基数是8，它的位权是、8-2、8-1、80、81、82、。它表示基本 的有限计数方法是，最多计数八个量，分别表示为0、1、2、3、4、5、6、7。 如果需要计算的量超过八个，则需要扩展，即并列两个基本的有限计数。两个 基本的有限计数能够表达的量是八和八的组合，即六十四。以此类推。 计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算BA基本的有限 计数(07)扩展方向两个基本的有限计数方法的组合，可以扩大计数范围，即 88种。由于B是对A的扩展，因此，B的1相当于A的8高位低位扩展的另一个 基本的有限计 数(07)八进制八进制八进制的基本计数规则是，逢八进一，借 一当八。八进制的所有运算都是建立在此基础 上。八进制数666.66表示为 682+681+680+68-1+68-2 。在与计算机相关的资料中，八进制数表示 可以是101O、(101)8。 八进制八进制计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算如果A=（12367）8，则A除以（8）10的整数部分是（？）8，余数部分是7；A中有（？）8个（64）10；A除以4的余数是（？）。 八进制八进制请思考计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算在上述公式中，当b为16时称为十六进制进位计数法（简称十六进制）。十 六进制是人类最熟悉的计数方法。它的基数是16，它的位权是、16-2、 16-1、160、161、162、。它表示基本的有限计数方法是，最多计数十六 个量，分别表示为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。如 果需要计算的量超过十六个，则需要扩展，即并列两个基本的有限计数。两 个基本的有限计数能够表达的量是十六和十六的组合，即二百五十六。以此 类推。 计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算十六进制十六进制BA基本的有限计 数(09，AF)扩展方向两个基本的有限计数方法的组合，可以扩大计数范围，即 1616种。由于B是对A的扩展，因此，B的1相当于A的16高位低位扩展的另一个 基本的有限计 数(09，AF)十六进制的基本计数规则是，逢十六进一 ，借一当十六。十六进制的所有运算都是建立 在此基础上。十六进制数666.66表示为 6162+6161+6160+616-1+616-2 。在与计算机相关的资料中，十六进制数表 示可以是101H、(101)16。 计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算十六进制十六进制十六进制表示中为什么会出现A、B、C、D 、E、F，而不是10、11、12、13、14、15？ 请思考计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算十六进制十六进制在上述公式中，当b为2时称为 二进制进位计数法（简称二进制）。二 进制是人类最熟悉的计数方法。它的基数是2，它的位权是、2-2、2-1 、20、21、22、。它表示基本的有限计数方法是，最多计数二个量， 分别表示为0、1。如果需要计算的量超过二个，则需要扩展，即并列两个 基本的有限计数。两个基本的有限计数能够表达的量是二和二的组合，即 四。以此类推。 计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算二进制二进制BA基本的有限 计数(01)扩展方向两个基本的有限计数方法的组合，可以扩大计数范围，即 22种。由于B是对A的扩展，因此，B的1相当于A的2高位低位扩展的另一个 基本的有限计 数(01)二进制的基本计数规则是，逢二进一，借 一当二。二进制的所有运算都是建立在此基础 上。二进制数111.11表示为 122+121+120+12-1+12-2 。在与计算机相关的资料中，二进制数表示 可以是101B、(101)2。（11001010）2 - （00010101）2 = （10110101）2 （01001010）2 + （00010101）2 = （01011111）2计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算二进制二进制一个二进制数乘以4的运算能否通过改变 小数点位置的方法实现？ 请思考计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算二进制二进制不同进位计数制之间的转换 不同进位计数制之间的转换是一种等值转换，也就 是说，对于一个数可以从不同进位计数制的角度去表示 。尽管得到的表示结果是不同的，但该数本身并没有发 生改变。也就是说，我们需要计数的量是同一个量，只 是采用了不同的计数方法计数。不同进位计数制之间的等值转换实质上是进行基数 的转换，即代表每一个位的基本计数方法所能计数的最 大值之间进行转换。转换所依据的原则是：如果两个数 的值相等，则两数的整数部分和小数部分的值一定分别 相等。因此在转换时应对该数的整数部分和小数部分分 别进行转换。 计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算不同进位计数 制之间的转换 各种进制数转换成十进制数 根据进位计数制表示一个数的方法，任何一个数可以表示 成逐位按其位权展开并相加。这个表示反映一个数的本质含义 。因此，任何进制数转换成十进制数都比较简单，只需按该 进制的位权按位展开、然后相加即可，其和便是相应的十进制 数。这种方法称为按权相加法。 比如：(11011.01)2 = 1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2= 16+8+0+2+1+0+0.25 = (27.25)10(1316.04)8 = 1×83+3×82+1×81+6×80+0×8-1+4×8-2= 512+192+48+6+0+0.0625= (758.0625)10(1FC.88)16 = 1×162+F×161+C×160+8×16-1+8×16-2= 256+240+12+0.5+0.03125 = (508.53125)10 计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算十进制数转换成其他进制数，需要对整数部分和小数部分 采用不同的方法进行。 （1）对于整数部分，本质上是将十进制数不断地除以要转换 的进制的基数，并取得其余数。整数部分继续上述方法，直到 不够除，商为0时停止。所有余数的反向排列即为所需要的某 进制数。这种方法称为除基数取余法。例如： 十进制数转换成其他进制数（3456）10 =（11011000000）2 =（6600）8 =（D80）1616 )_3 4 5 6_16)2 1 6 016) 1 3 8 （D80）16 0 13即： 3456 = 216×16 + 0 0216 = 13×16 + 8 813 = 0×16 +13 D计算机中数的表示及基本运算计算机中数的表示及基本运算8 )_3 4 5 6_8) 4 3 2 08) 5 4 0 （6600）88) 6 6 8) 0 6 即： 3456 = 432 × 8 + 0 0432 = 54× 8 + 0 054 = 6×8 + 6 66 = 0×8 + 6 6即： 3456 = 1728×2 + 0 01728 = 864×2 + 0 0864 = 432×2 + 0 0432 = 216×2 + 0 0216 = 108×2 + 0 0108 = 54×2 + 0 054 = 27×2 + 0 027 = 13×2 + 1 113 = 6×2 + 1 16 = 3×2 + 0 03 = 1×2 + 1 11 = 0×2 + 1 1计算机中数的表示及
