数学模型的相互转换

第2章 连续系统数字仿真的 基本算法2.1 连续系统数学模型 2.2 数值积分算法 2.3 数值积分算法的基本分析 2.4 连续系统仿真的离散相似算法 2.5 常用快速数字仿真算法 2.6 实时数字仿真算法 小结2.1连续系统数学模型2.1 .1表达形式描述控制系统的主要模型有微分方程、状态空间表达式等形 式的时域描述法和用传递函数描述的频域描述法。即对于一 个连续的控制系统，数字仿真常用的数学模型一般有3种表示 方式： 直接用微分方程描述； 用传递函数描述；多项式形式零极点形式 状态方程描述；这三种描述方式是可以相互转换的。(1). 微分方程设连续系统的输出量为y(t)，输入量为u(t) ，采用微分方程的形式来表示的系统数学模型一般式可描述如下：（2.1）上式中，为常数。(2). 传递函数对式（2.1）等号两边逐项进行拉氏变换，并考虑系统输出、 输入及其各阶导数的初值均为零，可得到 （2.2）式中，-系统输出的拉氏变换；-系统输入的拉氏变换；可得系统的传递函数为：(2.3)微分方程或传递函数是用系统的输入、输出之间的关系来描 述系统的，表示了系统的外部特征，所以称其为外部模型。用微分方程表示的系统可以是非线性或线性系统，而对于传 递函数表示的系统，只适用于单输入-单输出的线性定常系 统，所以传递函数的模型表示有一定的局限性。 (3). 状态空间表达式状态空间表达式可以由两个途径获得，由微分方程或系统 结构方框图导出，这里对微分方程推导作简单说明。 设系统由不含输入量导数项的n阶微分方程表示：(2.4)定义n个状态变量为，且令写出各个状态变量的一阶微分方程形式将上述n个一阶微分方程写成矩阵向量形式为(2.5)上式称为状态空间表达式，其中A、B、C为系数矩阵，x为状态变量。2.1.2. 数学模型的相互转换由于要解决的控制问题所需的数学模型与所给定的已知数学 模型往往是不一致的，不同的应用场合需要对控制系统的数 学模型进行转换 （1）微分方程转化为传递函数和状态空间表达式例2.1 已知某控制系统的微分方程为将其分别表示为传递函数、一阶微分方程组和状态空间描述。解： 将给定系统微分方程的两端取拉氏变换，并令初始值为零， 则可用以下传递函数表示根据传递函数定义有按照状态空间描述，将各变量和系数矩阵表达为由于是二阶导数，可以引入两个状态变量，将给定的二阶 微分方程写成一阶微分方程组形式（2）传递函数转换成状态空间表达式 转换采用的方法是状态变量图法 ，用基本模拟单元替代系统 的传递函数得到的图形式系统结构图，在系统结构图上标上 状态变量的图形是状态变量图，然后再求出状态空间表达式 。图2-1 积分器的系统结构图和状态变量图由状态变量图根据积分器的输入、输出关系写出：输出方程状态方程对于初始条件为零的积分器 对于带反馈的积分器，其传递函数为图2-2 带反馈积分器的状态变量图由积分器输入、输出关系得到从上面得到由系统结构图到状态变量图并到处状态空间表达式 的步骤如下：根据系统的传递函数，画出系统结构图，n阶系统有n个积分 器； 把积分器输出处定为状态变量x，积分器输入处为状态变量微 分 ，并把状态变量x，和状态变量 微分分别标在积分器输 入和输出处，得到状态变量图； 根据积分器输入、输出的方程写出系统的状态方程和输出方 程。对于高阶、复杂系统采用级联法、并联法和串联法得到代表实际 系统传递函数的系统结构图及相应的状态变量图，依据同样方法 求得状态空间表达式。对于一个三阶系统的传递函数， (2.6)（1）级联法 采用如下步骤进行： 用传递函数的最高阶次除以传递函数分子分母多项式得到利用信号流图法画出该系统的信号流图及系统状态变量图 图2-3 系统信号流图图2-4 系统状态变量图根据积分器输入、输出关系得到如下方程写成矩阵表达式 A、B、C为系数矩阵其中，其中，分析系数矩阵A、B、C可见： 系数矩阵A是一个方阵，以I表示行号，J表示列号，最末一行 元素和传递函数分母多项式系数按s0升幂排列的负值一一对 应，其余各行的元素在J=I+1时为1，其他全部为0；系数矩阵B是一个单列矩阵，最后一行元素为1，其余为零；系数矩阵C是一个单行矩阵，各列元素与传递函数分子多项式 系数按s0升幂排列值相同。推广到n阶方程，系数矩阵 A、B、C分别为 这种形式的矩阵称为可控标准型状态表达式。(2.7)例2.2已知某控制系统的传递函数为利用式（2.7）将系统模型转换为状态空间描述和一阶微分 方程组描述。 解： 这是一个三阶系统，将给定的系统传递函数按照状态空 间描述的系数矩阵A、B、C的对应关系，依据式（2.7） 可得各系数矩阵如下组合为状态空间描述有将上述矩阵展开即可得到系统模型的一阶微分方程组表示 形式（）并联法 并联法的思路是把高阶系统的传递函数转变成若干个一阶环 节传递函数之和，如将式（2-6）表示成下式形式然后，对各个一阶环节的 传递函数画出系统结构图 ，并标上状态变量后，得 到如图2-5所示的状态变量 图。图2.5 并联法系统状态变量图写成矩阵表达式由图2-5可到状态空间表达式为其中其中利用级联法和并联法得到的状态空间表达式的系数矩阵A、 B、C是不同的。可以用特征方程 判断特征值是否 相同，确定几个状态空间表达式是否属于同一个外部模型， 因为同一系统有相同的特征值。 （3）状态空间表达式转换成传递函数已知系统状态空间表达式对上式两边取拉氏变换在零初始条件下整理上式并在等式两边乘以单位矩阵（2.9） （2.10） 将X(s)代入式（2.10）得到 可得（2.11） 在系数矩阵已知的情况下，根据式（2.11）就可以求出状态 空间表达式所对应的外部模型的传递函数。 在MATLAB控制系统工具箱中提供了大量的控制系统模型 相互转换的函数，如表2-1所示。表2-1 数学模型转换函数及其功能函 数 名函 数 功 能ss2tf将系统状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp将系统状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss将系统传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp将系统传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss将系统零极点增益模型换为状态空间模型zp2tf零极点增益模型换为传递函数模型z,p,k=tf2zp(num,den) A,B,C,D=tf2ss(num,den) num,den= zp2tf(z,p,k ) A,B,C,D=zp2ss(z,p,k) num,den= ss2tf(A,B,C,D) z,p,k= ss2zp(A,B,C,D)对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等 于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和 分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个 向量分别用num和den表示。 num=b1,b2,bm,bm+1 den=a1,a2,an,an+1 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。MATLAB表示数学模型举例 连续系统的传递函数模型v在MATLAB中零极点增益模型用z,p,K矢量组表示 。即： vz=z1,z2,zm vp=p1,p2,.,pn vK=k v函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。零极点增益模型K为系统增益，zi为零点，pj为极点 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理 是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以 获得系统的零点和极点的表示形式。 用法举例： 1）已知系统状态空间模型为： A=0 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1; num,den=ss2tf(A,B,C(D,1) iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略 。 num=1 5 2; den=1 2 1; z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,1) z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1 2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为： num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6; A,B,C,D=tf2ss(num,den) A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0 3）系统的零极点增益模型： z=-3;p=-1,-2,-5;k=6; num,den=zp2tf(z,p,k) num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10 a,b,c,d=zp2ss(z,p,k) a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。 思考题：思考题：编写MATLAB程序实现例2.1中所示系统在三种模型间 相互转换。