超静定结构内力计算

第六章 超静定结构内力计算 学习要求：1、掌握超静定结构概念及超静定次数的确定。2、了解力法、位移法解超静定结构基本未知量及原理。3、掌握用力矩分配法的基本原理，会两个结点的分配。一、超静定结构的概念有多余约束的几何不变体系，结构的支座反力和内 力仅用静力平衡条件不能确定或不能全部确定。ABPC有一个多余约束，称为 一次超静定。AB有两个多余约束，称为 二次超静定。多余约束中产生的约束力称为“多余未知力”。超静定结构概述二、超静定次数的确定结构中多余约束的数目称为结构的超静定次数。判 断超静定次数的方法是去掉多余约束使原结构变成静 定结构。 常见的去掉多余约束方式有以下几种：1、去掉支座处的一根支杆(可动铰支座)，相当于去 掉一个约束。2、去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。3、将固定端支座改成铰支座，相当于去掉一个约 束。4、去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。力法、位移法概述力法和位移法是计算超静定 结构的两种基本方法。在力法中，通过综合考虑平衡条件、物理条件及几何条件 先求出多余约束力，进而求出内力和位移；而位移法则是先求结点位移，再计算内力。在力法和位移法计算中都要建立求解基本未知量的典型方 程。1、计算途径的比较力法以多余未知力为基本未知量，位移法以结点位移为基 本未知量。从典型方程建立的过程看，力法的基本方程是位移协调方程 ；位移法的基本方程是与附加约束相连的原结构的某一结点或 一部分的平衡方程。2、适用范围的比较凡多余约束数多而结点位移少的结构，宜采用位移法；反之 宜采用力法。当两种方法的未知量数目差不多时，宜选用位移法。力矩分配法计算较为简便，但单纯用力矩分配法只能计算无 结点线位移的结构。一、力法基本未知量的确定结构中多余约束的数目即结构的超静定次数为力法基 本未知量数目。判断超静定次数的方法是去掉多余约束 使原结构变成静定结构。位移法基本未知量的确定位移法的基本未知量为结点位移。结点位移分为结 点角位移和结点线位移两类。 1、结点角位移P ABCDABCDP由于A、B、C为固定端支 座，所以其位移均已知为零 ，不需作为未知量；而同一 刚结点处各杆的杆端转角相 等，所以每个刚结点处只有 一个独立的结点转角未知量 。故上图刚架只有一个结点 转角未知量。由于A、D为铰支座，已知弯 矩为零，不取为基本未知量； B、C为刚结点，所以图示连 续梁 有两个结点角位移。所以，结点角位移的数目 等于该结构的刚结点数！2、独立结点线位移在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形 前后保持不变，即杆长保持不变。ABCDC'D'由于杆AC、BD两端的距离假设 不变故C、D结点都没有竖向位移 ； C、D结点虽然有水平位移，但 由于CD杆的长度不变，因此结点 C和D的水平位移相等。所以只有 一个独立结点线位移。 所以该刚架有三个基本未知量。*三.用力矩分配法计算超静定结构力矩分配法是以位移法为基础的渐近解法， 在计算过程中采用逐步修正的步骤，最后收 敛于真实状态即求得每段杆两端的弯矩；再 运用迭加法画各段杆弯矩图。力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。正负号规定：杆端弯矩以顺时针为正及转动 约束中的约束力矩也均以顺时针为正。力矩分配法的基本概念 一、力矩分配法的基本参数1、转动刚度 SAB : 使AB杆的A端（也称近端）产 生单位转角时所需施加的力矩。ABABABAB= =1 =1 =1 =1SAB = 4 iSAB = iSAB = 3 i转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度i 有关（ i = EI/L），而且与远端的支承情况有关。转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚度越 大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。当 1时:MAB = SAB 2、分配系数令：Ak =SAk SA AAk称为分配系数3、传递系数 C表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近端 弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。远端固定：C = 0.5远端 铰 支： C = 0远端定向 支座：C = 1汇交于同一结点各杆的分配系数之和 等于1，即：= AB ACAD = 1 AABCDmAAA现把上述问题归纳如下：当结点A作用有力偶荷载 m 时，结点A上各杆近端得到 按各杆的分配系数乘以 m 的 近端弯矩，也称分配弯矩。以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷 载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。远端支承情况转动刚度传递系数 固 定4i0.5 铰 支3i0 滑 动i1各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩（或分配弯 矩）的远端弯矩，也称传递弯矩。单结点连续梁或刚架跨间有荷载作用时例 ：32kN20kN/mABCMBMFBAMFBCMBBABCMB解：1、先在B点加 上阻止转动的约束力 矩MB，这时B点相当 于固端，查表6-1求 得各固端弯矩。MFBA = qL2/12 = 60kNmMFAB = qL2/12 = 60kNmMFBC = 3PL/16 = 36kNm MFCB = 0所以：MB= 6036 = 24kNm2、放松结点B，这相当于在结点 B上加一个外力偶（ MB ），按 分配系数分配于两杆的B端，并使 两杆的远端产生传递弯矩。具体 计算如下：32kN20kN/m3m3m6mABCEIEI设 i = EI/6AC32kN20kN/m3m3m6mABCEIEISBA= 4i SBC= 3i 分配系数：BA= 4/7= 0.571 BC= 3/7 = 0.429分配弯矩：MBA= 0.571×(24) = 13.7kNmMBC= 0.429×(24) = 10.3kNm传递弯矩：MAB= 0.5×(13.7) = 6.85kNmcMCB= 0c最后杆端弯矩：MAB= MFAB MCAB = 66.85kNmMBA= MFBA MBA = 46.3kNmMBC= MFBC MBC = 46.3kNmMCB= 060603600.571 0.42913.710.36.85046.366.8546.3066.85 46.39033.434824.85AM图（kNm ）多结点的力矩分配32kN20kN/mABCD 步骤：1、先锁：加约束锁紧全部刚结点，计算各杆的固端 弯矩和结点的约束力矩。约束力矩 MB = MfBj2、逐次放松：每次放松一个结点（邻近结点仍锁住 ）进行单结点的力矩分配和传递。轮流放松各结点，经 多次循环后各结点渐趋平衡。实际计算一般进行23个 循环就可获得足够的精度。3、叠加：将各次计算所得杆端弯矩相加（代数和） 就得到杆端弯矩，即：M = MfM分配M传递1、力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。力矩分配法要点2、力矩分配法的基本参数（1）、转动刚度 SAB*固 4i*铰支 3i滑 i其中 i = EI/L（2）、分配系数AB AB =SAB SA A（3）、传递系数 CAB*固定 CAB =0.5*铰 支CAB =0 重点：掌握三跨连续梁两节点的分配如：6m30kNABCD4kN/m8m3m3mA40kN10kN/mBCD 4m4m8m8mi = 1i = 1i = 1EI3EI2EI注意：各段的线刚度题型5、用力矩分配法绘制图示连续梁的弯矩图。EI为常数。 6m30kNA BCD4kN/m8m3m3m注意：查表时对应符号APBABPAB注意：BA1、计算各杆的固端 弯矩MfMfAB=0=1/8×4×62=18MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5MfCB=1/8PL=1/8×30×6=22.5MfCD=MfDC=02、计算转动刚度 S和分配系数 B节点SBA=3i3EI/6SBC=4i4EI/6C节点SCB=4i4EI/6SCD=4i =4EI/8B节点C节点BA=SBASBA+ SBCBC=SBcSBA+ SBC=3/7=4/7SCB+ SCDCB=SCBCD=SCDSCB+ SCD=3/7=4/703/74/74/73/71822.522.50012.859.656.4254.8254.6856.2383.121.78 1.340.670.890.380.51023.067 23.06710.9910.995.495(45)23.06710.995.495(18)M图 (kNm)结果列入表格例：用力矩分配法作图示梁的弯矩图。A80kN20kN/mBCD 4m4m8m8mi = 1i = 1i = 1解：计算分配系数BA=4×1 4×1 4×1= 0.5BC=4×1 4×1 4×1= 0.50.5 0.5 0.571 0.429 8080001600 91.3668.6445.68 62.84 62.8431.4231.42 17.9413.488.97 4.485 4.4852.242.24 1.280.960.64 0.32 0.32113.6612.36 12.3676.92 76.920113.66 12.36 16096.9176.92160121.54ABCDM图（kNm ）0.5 0.5 0.571 0.429 8080001600 91.3668.6445.68 62.84 62.8431.42 17.9413.488.97 4.485 4.4852.242.24 1.280.960.64 0.32 0.3212.36 12.3676.92 76.920113.6631.4230kN/m40kN8m8m4m4m2EI2EIEIABCD分配系数固端弯矩分配弯矩及 传递弯矩0.60.40.40.600-160160-600966432-52.8-79.2-26.40最后杆端弯矩15.8410.5605.28-2.11-3.170-1.060.640.4200.21-0.08-0.13112.48-112.48142.5-142.500力矩分配法解题注意事项：1、力矩分配（放松结点）过程宜从约束力矩大的结 点开始，可加快收敛速度。2、进行力矩分配时，相邻结点不可同时放松，应逐 个放松、传递。当结点较多（大于3个）时，可以同时 放松所有的不相邻结点，以加快计算过程。3、力矩分配法是一种增量渐近法，精度可以控制。 一般当传递力矩达到固端弯矩的5 以下时，即可终止 计算，不再传递力矩。