《点集拓扑学》&amp#167;41连通空间

第4章连通性本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用.这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些 互不 同胚的空间§ 4.1连通空间本节重点:掌握连通与不连通的定义;掌握如何证明一个集合的连通与否;掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性我们先通过直观的方式考察一个例子在实数空间R中的两个区间（0, l ）和1, 2）,尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U l , 2） =（ 0, 2）却 是一 个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1,2）,它们的并（0, 1） U （1, 2）是明 显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形， 区间（0, l ） 有一个凝聚点1在1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的 任何一个都没有凝 聚点在另一个中. 我们通过以下的定义，用术语来区别这两种 情形.定义4.1.1设A和B是拓扑空间X中的两个子集如果则称子集A和B是隔离的.明显地，定义中的条件等价于二和二同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1）和（1, 2）是隔 离的，而子集（0， l ）和1，2）不是隔离的.又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的， 而在离散空间 中任何两个无交的子集都是隔离的.定义4.1.2设X是一个拓扑空间如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得 X=AJ B,则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间.显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间， 而任何平庸空间都是连 通空间.定理4.1. 1设X是一个拓扑空间则下列条件等价：（I ） X是一个不连通空间；（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得AH和AJ B二X成立;（3） X中存在着两个非空的开子集A和B使得AH和AJ B二X成立;（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集.证明条件（I ）蕴涵（2）:设（1）成立令A和B是X中的两个非空的隔离子 集使得AJ B二X,显然AH B=J,并且这时我们有B=BrX = Br(AuB) = (EnA)'nB) = B因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集这证明了集合A和B 满足条件（2）中的要求.条件（2）蕴涵（3）如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B 为闭集，则由于这时有A=_和B二二，因此A、B也是开集，所以A和B也满足条件 （3）中的要求.条件（3）蕴涵（4）如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B 是开集，则由和B二二易见A和B都是X中的闭集，因此AB是X中既开又闭的真（:A BM二，AU B=X 二 A BMX）子集，所以条件（4）成立.条件（4）蕴涵（I）设X中有一个既开又闭的非空真子集A令则A和B都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得AU B=X易见两个无交的闭子集必定是隔 离的（因为闭集的闭包仍为自己）因此（I ）成立.例4.1.1有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.这是因为对 于任何一个无理数r R-Q，集合（-X, r） n Q= （，r GQ是子空间Q中的一个既 开又闭的非空真子集.定理4.1.2实数空间R是一个连通空间.证明 我们用反证法来证明这个定理.假设实数空间R是不连通空间则根据定理4.1.1,在R中有两个非空闭集A和B 使得An B=J和AU B= R成立任意选取aA和b B,不失一般性可设a v b令 =Ana,b,和J二Bn a,b 于是和J是R中的两个非空闭集分别 包含a和b,并且使 得n F =二和U F =a, b成立.集合有上界b,故有上确界，设为.由于是一 个闭集，所以，并且因此可见1 vb,因为二b将导致bn J,而这与n J 二J矛盾.因此（1 , b_ .由于J是一个闭集，所以 -.这又导致二二口 -,也与亠：n -二-矛盾.定义4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集如果Y作为X的子空间是一个 连通空 间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称丫是X的一个不连通子集.拓扑空间X的子集丫是否是连通的，按照定义只与子空间丫的拓扑有关(即丫 的连通与否与x的连通与否没有关系.).因此，如果/ 丄，则丫是X的连通子集 当且仅当丫是Z的连通子集.这一点后面要经常用到.定理4.1.3设丫是拓扑空间X的一个子集，A, B_Y.则A和B是子空间丫中的隔 离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.因此，丫是X的一个不连通子集，当且仅当存在丫中的两个非空隔离子集A和B使得AU B= Y (定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得AUB =Y.证明用| 一'分别表示A在丫，X中的闭包.因为(C (& n J)u(C (J)nJ) = © nZ)n")u(C" (£) nF) n A) rr=(6 n(?n Q) u © (5) n(?n & = © n5)u © (B) cQ因此根据隔离子集的定义可见定理成立.定理4.1.4 设丫是拓扑空间X中的一个连通子集如果X中有隔离子集A和B使得YUAUB贝咸者YUA,或者YCB.证明如果A和B是X中的隔离子集使得丫匚AUB则(*n?) u(5 n?) n 北 nZ)rn(Un5)u(5nI)= 0这说明AAY和BAY也是隔离子集然而(AH Y)U( BA Y) = ( AU B)A Y= Y因此根据定理4.1.3 ,集合AGY和BAY中必有一个是空集如果AA 丫二二，据上式 立即可见Y_B，如果BA 丫二二，同理可见Y_A定理4.1.5 设丫是拓扑空间X的一个连通子集，Z_X满足条件二一二则Z也是X的一个连通子集.证明假设Z是X中的一个不连通子集根据定理4.1.3,在X中有非空隔离子集A和B使得Z=AU B,因此YEAUB由于丫是连通的，根据定理4.1.4,或者 Y_A '二二匚二 二匚匚二二：2 匚二：_'或者Y_B,同理，门这两种情形都与假设矛盾.定理4.1.6设匚-是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族如果'匚5，贝y j-是X的一个连通子集.证明 设A和B是X中的两个隔离子集，使得-，二AU B.任意选取x宀，不失一般性，设x A.对于每一个丫 ，由于二连通，根据定V rAY r RY理4.1.4，或者或者=；由于x - A A,所以；一根据定理4.1.3,这就证明了 H是连通的.定理4.1.7 设Y是拓扑空间X中的一个子集如果对于任意x，yY存在YYX中的一个连通子集匸使得x，y Y,贝U Y是X中的一个连通子集.证明 如果Y=_：，显然Y是连通的下设J ；，任意选取a Y,容易验证'并且&".应用定理4.1.6，可见Y是连通的.我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质 (参见§ 2. 2) 所 谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所 具有 的性质.事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于 经由开集 定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质. 因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商 空 间所具有，则称这个性质是一个可商性质.因为拓扑空间到它的商空间的自然 的投射 是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质.以下定理4.1.8指出，连通性(即一个拓扑空间是连通的这一性质) 是一个 在连续映射下保持不变的性质.因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质.定理4.1.8设f:X -Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射则f(X)是Y的一个连通子集.证明如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A和B使得f(X)= AU B.于是' (A) 和/ ' (B)是X的非空子集，并且(严(& n 7辽u CZ(A) C广谚)u(广好)门厂(A)/ "17 "1所以一(A)和一(B)是X的非空隔离子集.此外，1 (A)U"( B)= (AU B) = (f(X)=X这说明X不连通.与定理假设矛盾.拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n0个拓扑空间都具有性质P,蕴涵着积空间也具有性质p.例如，容易直接证明，如果拓扑空间-J-'都是离散空间（平庸空间），则积空间亠：也是离散空间（平庸空间） ,因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质.根据定理3. 2. 9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p 是一个拓扑不变性质为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个 具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间.定理4.1.9设是n个连通空间则积空间也是连通空间.证明根据前一段中的说明，我们只要对于 n=2的情形加以证明.首先我们指出：如果 '1 '两个点有一个坐标相同，【=上有一个连通子集同时包含x和y不失一般性，设定义映射k：二使得对于任何-宀有'_ ri < .由于PM：為是取常值勿的映射，'- 为恒同映射，它们都是连续映射，其中hh分别是到第1和第2个坐标空间的投射因此，k是一个连续映射根据定理4.1.8 , k5）是连通的此外易见，灿 血）十护血，因此它同时包含x和y现在来证明：中任何两个点x =（珂內）y （”同时属于的某一个连通子集.这是因为这时若令 -二.二，则根据 前段结论，可见有的一个 连通子集匚同时包含x和z,也有二 的一个连通子集I同时包含y和z由于z,因此根据定理416,1'是连通的，它同时包含x和y于是应用定理4.1.7可见上是一个连通空间.因为n维欧氏空间丁是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一个连通 空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间J是一个连通空间.作业：P116 356814