空间分析(2009-2010-2：8)：空间插值与地统计

第八讲 空间插值与地统计1一阶方法 1. 倒距离权重(IDW)插值 2. 趋势面分析 2二阶方法 1. 区域化变量 2. 协方差函数, 变异函数, 变异函数模型 3. 交叉验证 3地统计：克里金(Kriging)方法 1. 概述：理解不同的克里金方法 2. 几种不同的克里金方法普通克里金(OK)、简单 克里金(SK)、泛克里金(UK) 指示克里金（IK）、协克里金（Ck）一、一阶方法1. 倒距离权重（IDW）插值2. 趋势面分析IDW 插值方法假定每个输入点都有着局部影响，这种 影响随着距离的增加而减弱。步骤: a) 计算未知点到所有点的距离； b)计算每个点的权重： 权重是距离倒数的函数。c) 计算结果：1. 1. 倒距离权重倒距离权重(IDW)(IDW)插值插值 =1 4 最大 6 最小示例：示例：IDWIDW插值（求图中插值（求图中0 0点的值）点的值）nIDW插值的一般模型 对所有或选定的 i 进行计算典型地， 的取值是1或2除以距离权重的和，保证了权重加起来等于1*河南大学环境与规划学院 zhaoyhenu.edu.cn 432100160200例：倒距离加权例：倒距离加权(IDW)(IDW)插值结果插值结果IDWIDW插值的缺点插值的缺点IDW不能得到大于样本最大 值或小于样本最小值的估计 。对于高程表面，这抹平了 峰和谷。（除非它们的高点 和低点是样本的一部分。因 为估计值为均值，得到的表 面将不通过样本点IDW插值在ArcGIS中的实现IDW插值在ArcGIS中的实现Idaho州降雨量等直线图IDW插值在ArcGIS中的实现2. 趋势面分析趋势面分析(trend surface analysis)：用数学模型来模拟（或拟合）地理数据的空间分 布及其区域性变化趋势的方法。确定性插值 函数拟合 最普通的形式：多项式 e.g y = ax2+bx+c 局部（local）：分段地 全局（global）local 1st orderglobal 1st order 趋势面分析是一种整体内插法，该方法假设 一般趋势与局部变化无关，并利用曲面方程 来模拟待定点附近地形表面的一般趋势。 通常使用的是1次、2次、3次趋势面，过高 次的趋势面不利于反映空间趋势，并可能存 在趋势面的“畸变”。其中，2次趋势面可用待定点附 近的6个数据点来计算方程式系数。Deterministic SolutionsFirst Order Polynomial InterpolationPredicted ModelMeasuredSecond Order (third, fourth, etc.) Polynomial InterpolationLocal Polynomial InterpolationRadial Basis Function (Spline) Interpolation 趋势面的性质与特点是一种光滑的数学曲面，能集中地代表地理 数据在大范围内的空间分布变化趋势。与实际地理曲面不同，它只是实际曲面的一 种近似。实际曲面包括趋势面和剩余曲面两部分，即 ：实际曲面 趋势面 + 剩余曲面设Zi(xi，yi)表示某一地理特征值在空间上的 分布。其中(xi，yi)为平面上点的坐标。任一 观测点Zi可分解为两个部分，即：趋势面剩余面一阶趋势 面 First Order Trend Surface一阶趋势 面残差 Residuals from First Order Trend Surface趋势面参数的确定（最小二乘法） 使每一个观测值与趋势值的残差平方和最小 ，即 按建立多元线性方程的方法，使Q对系数b0， b1，bn求偏导，并令这些偏导数等于零， 得趋势面的正规方程组，解正规方程组，即 可求出系数，从而得到趋势面方程。因为任何函数在一定范围内总可以用多项 式来逼近，并可调整多项式的次数来满足 趋势面分析的需要，一般来说，多项式的 次数越高则趋势值越接近于观测值，而剩 余值越小。多项式趋势面的数学模型二阶趋势 面 Second Order Trend Surface (1, x, y, x2, y2 , xy)T三阶趋势 面 Third Order Trend Surface(1, x, y, x2, y2 , xy, x3, y3 , x2y, xy2)T趋势面的具体计算方法与步骤：原始数据列表； 等间隔选取纵横坐标网，将原始数据点 入坐标； 按多元线性回归分析方法求出趋势面的 正规方程组，解出参数； 从趋势值等值线图中，获得地理要素的 区域性变化规律； 用F分布对趋势面进行拟合程度检验。即用双三次多项式拟合趋势面。双三次多项式（样条函数）插值该曲面模型有16个待定系数（Cij, i,j=0,1,2,3;）。通 常用4个数据点（规则格网的4个顶点）的4个函数 值组成的4×4方程组求解（如图）。这4个函数值是 高程Z、 x方向斜率R、 y方向斜率S，以及扭矩T： 56781234916151011121314 其中Z保证曲面通过格网的4个数据点，R、S、T 保证曲面在这4个数据点处光滑连续。 双三次多项式（样条函数）内插法是规则格网插 值的常用方法之一。这种方法通过一系列曲面片 段来拼接地形表面，最终得到一个1阶、2阶连续的表面。该方法属于局部插值，计算负担中等； 对于平滑表面拟合效果最好，对于起伏的表面拟 合效果最差。 趋势面分析在ArcGIS中的实现趋势面分析在ArcGIS中的实现趋势面分析在ArcGIS中的实现Idaho州降雨量等直线图二、二阶方法IDW插值和趋势面方法的缺陷： IDW： 距离权重函数的选择和“邻居”的定 义是其“致命缺陷”（Achilles heel）。 趋势面分析：In a sense, trend surface analysis lets the data speak for themselves, whereas IDW interpolation forces a set structure onto them.二、二阶方法 区域化变量 协方差函数 & 半变异函数n地统计学是以区域化变量理论为基础， 以变异函数为主要工具，研究那些在空 间分布上既有随机性又有结构性，或空 间相关和依赖性现象的学科。 n协方差函数和变异函数是以区域化变量 理论为基础建立起来的地统计学的两个 最基本函数。地统计学的主要方法之一 ，克里金方法(Kriging)就是建立在变异 函数理论和结构分析基础之上的。 n当一个变量的取值与其空间位置有关时， 就称为区域化变量（regionalized variable） 。区域化变量常常反映某种空间现象的特 征，用它来描述的现象称之为区域化现象 。n区域化变量，亦称区域化随机变量， Matheron(1963)将它定义为以空间点x的三 个直角坐标为自变量的随机场n区域化变量具有两个最显著，也是最重要 的特征：随机性和结构性。随机变量随机函数随机过程随机场区域化变量与时间有关的 随机函数带有多个(2个以上)自 变量的随机函数以空间点的三个直角坐标为自变量http:/cg.ensmp.fr/Presentation/Matheron/Matheron_en.shtml Professor Georges Matheron (1930-2000.8.7) 法国数学家和地质学家 区域化变量的功能：由于区域化变量是一种随机函数，因而能同时反映空间变量的结构性和随机性。l一方面，当空间点 x 固定后，Z(x)就是一个随机变量，这体现了其随机性。l另一方面，在空间两个不同点 x 与 x+h 处的区域化变量值具有某种程度的相关性，这体 现了其结构性。区域化变量的组成部分l 数据点 结构性 可以用均值和常数趋势表示 空间相关 数据通常呈现正空间相关性 随机性 测量误差，其他误差 distance elevation结构性随机性实际值协方差函数与变异函数 数学期望、方差和协方差 数学期望：一阶原点矩 方差：二阶中心矩 协方差：二阶混合中心矩 协方差函数 类似地，当Z(x)是区域化变量时，对于任 意两点si和sj ，空间随机过程的协方差函 数为：相关系数和方差分别定义为： 若 ，则过程是二阶平稳 的，即均值与方差独立于空间位置并在研 究区域上是常数。于是有：称为协方差图或过程的协方差函数， 称为相关图或相关函数。显然，协方差函 数仅依赖于向量差h，当h=0时， 若独立性仅是距离的函数，与方向无关， 则空间过程是各向同性(isotropy)的。协方 差函数就只依赖于距离向量h： 若在给定距离和方向上，不同位置数值差异 的均值和方差为常数，则下式成立：半变异函数，也 称半方差函数。 (semi-variogram) 半变异函数(semi-variogram) 区域化变量的基本研究工具 半变异函数就是区域化变量增量平方的 数学期望之半区域化变量在i 、i+h点的值步长为h的 样品对数步长(h)：在一定方向上 ，距离为h的矢量 方差（Variance） 变异函数（ Variogram）h对对比：方差 & 变变异函数h ha aVetor distance Vetor distance h h建立经验半变异函数(Semivariogram) 测度空间变异。 对于间隔距离为h的每一对Z(x) 和Z(x+h)，测度它们之间差的平方。hhhhhh半变异云图 半变异云图：数据集中所有点对的“半变 异函数距离图”。 如果空间相关性存在： 互相靠近的已知点趋向于具有较小的半方差 互相远离的已知点趋向于具有较大的半方差半变异云图（semivariogram cloud）分组(Binning) 如果数据很大，样点对的数目将迅速增加并 且变得难以操作。 因此，可以将样点对分组，也就是步长(h)分 组。如，可将距离在01之间的作为第一组 ；h在12之间的作为第二组；依此类推。 Binning is a process that averages semivariance data by distance and direction (hey, its weighted!)Binned semivariogram模型拟合 半变异函数必须 拟合一个数学函 数或模型，以用 于估计任何给定 距离的半方差。理论变异函数模型实践中，常用的是变异函数图：偏基台值:C (partial sill)块金值:C0 (nugget)变程: a (range)h基台值 (sill)not related anymore变程范围内才有结构性 变化（有规律的变化）反映随机性大小： 主要来源于区域化变量Z(x)在小于抽样尺度h时所具有的内 部变异；另外还有抽样分析误差。变异函数是一个单 调不减函数。当h 超过某一个范围， 例如变程，变异函 数不再增大，而是 趋于一个极限值， 即为基台值。实际 上等于区域化变量 的先验方差。即，即基台值与块金值之 差，表示数据中存在 空间相关性引起的方 差变化范围。§The sill is the value at which the semivariogram levels off (its asymptotic value)§The range is the distance at which the semivariogram levels off (the spatial extent of structure in the data) §The nugget is the semivariance at a distance 0.0, (the y intercept)A semivariogram is a plot of the structure fu