人教版 高中数学【选修 21】习题：第三章3.13.1.3空间向量的数量积运算

2019年编·人教版高中数学第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的数量积运算A级基础巩固一、选择题1对于a，b，c向量和实数，下列命题中真命题是()A若a·b0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若a·ba·c，则bc答案：B2下列命题中，正确的命题个数为()m(a)·b(m)a·b(m，R)；a·(bc)(bc)·a；(ab)2a22a·bb2.A0B1C2D3解析：三个命题都正确答案：D3已知非零向量a、b不平行，并且其模相等，则ab与ab之间的关系是()A垂直 B共线C不垂直 D以上都可能解析：(ab)·(ab)a2b20，所以a、b垂直答案：A4已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a3b|()A13 B.C2 D.解析：|a3b|.答案：A5已知abc0，|a|2，|b|3，|c|，则向量a与b之间的夹角a，b为()A30° B45°C60° D以上都不对答案：C二、填空题6已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则a·bb·cc·a的值为_解析：因为abc0，所以(abc)20，所以a2b2c22(a·bb·cc·a)0，所以a·bb·cc·a13.答案：137已知|a|3，|b|4，mab，nab，a，b135°，mn，则_解析：由mn，得(ab)·(ab)0，所以a2(1)a·bb20，所以18(1)·3×4cos 135°160，即460，所以.答案：8如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_答案：90°三、解答题9.已知在四面体OACB中，OBOC，ABAC，求证：OABC.证明：因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB.所以AOCAOB.因为··()··|·cosAOC|·cosAOB0，所以，所以OABC.10.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长(1)证明：，.因为BB1平面ABC，所以·0，·0.又ABC为正三角形，所以，.因为·()·()·，2·|·|·cos·2110，所以AB1BC1.(2)解：结合(1)知·|·|·cos，221.又| |，所以cos，.所以|2，即侧棱长为2.B级能力提升1已知空间向量a，b，c，两两夹角为60°，其模都为1，则|ab2c|()A. B5 C6 D.解析：因为|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，所以a·bb·ca·c，a2b2c21.所以|ab2c|.答案：A2已知|a|2，|b|1，a，b60°，则使向量ab与a2b的夹角为钝角的实数的取值范围是_解析：由题意知即222<0.所以1<<1.答案：(1，1)3已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值解：(1)如图所示，设a，b，c，则|a|b|1，|c|2.a·b0，a·cb·c2×1×cos 120°1.因为abc，所以|2(abc)2a2b2c22a·b2a·c2b·c1122222.所以|.即AC1长为.(2)因为abc， bc，所以·(abc)·(bc)a·ba·cb2b·cb·cc2112222.又|A1D|2(bc)2b2c22b·c1427，所以|，所以cos，.故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.