分式与恒等变形-初中数学联赛题型解读系列(二)

联赛题型解读(二)一一分式与恒等变形一、“分式与恒等变形”真题分值分析一分式继承和延续了整式中的知识、方法和技巧，同时分式也有自身特殊的代数结构和属 性、及衍生出的一系列的分式问题，结合真题可以看出近些年来分式的考察也越来越受觅视.卜面我们通过统计近15年初中数学联赛中分式的分值(注：至少在结构和形式上是对 整式的考察才会计入分值统计)，帮助人家更好的了解分式在联赛中考察的分值比重。近俾分式考察分值总体来看：从07年开始分式稳定考察了 14分左右，基本是在一试中考察2道题，09 年在二试中考察了 1道人题，所以有理由相信接未来一两年内，仍然会在一试考察1至2 道分式的题目.1二、分式的基本知识与技巧一作为整式的后续内容，大部分分式问题可以转化为整式来处理，所以常见的整式中的方 法和技巧在分式问题中也屡屡见到，乘法公式和因式分解这里就不在详细介绍，请同学们评 见“系列(一)”，我们这足主耍介绍分式独特的性质和处理技巧。1.分式的基本性质这里介绍常用一下分式的基本性质a c(1) 基本性质：一 =u> ad = be ;b d(2) 反比定理：若,则-=-；b da c(3) 更比定理：若-=7,则-=y；b dc d八、 a . j一 a c a +b c + d(4) 合比定理：若,则-=；b db da ca -b c- d(5) 分比定理：若,则d ab a，八 入、 j “c.a+b c + d(6) 合分比定理：右=,则=；b d a -b c- d2.分式问题的常见处理办法(1)通分，去分母持化为整式;裂项；配对；取倒；整体带入，消元，降次；换元；(7)迩等式引入参数k;迭代；a ce(7) 等比定理：若-=-=- = Y,a a + c eb + d+2 0,则芦b + d+f三、联赛中分式的考察方式这见我们就联赛中考察的所有分式，依照试题的知识结构和难度，做了 4大题型的分类, 然后每个题型下又各有细分。当然这工的分类仅限联賽考察过的题目，并不包含我们学习中 遇见的所有的分式题型，比如遥等分式等。那么接下来就让我们看看近20年联赛中，分式都考察了什么题型1、基本分式问题我们将仅仅使用了分式的基本性质和简单变形、且没有使用乘法公式以及因式分解的题目单 题归类放庄一起，然后做了 7种分类，帮劝大家梳理基本的分式的考法。(1) 化简求值【例1】(1999年联赛)己知a,b为整数，且满足1a bTf-TT la b a ba b>1I111a2 b2 a2 b21 1 p-+p-p_ 1 <a b 3ab-2a-2b = 0,A(3b-2)(3a-2)=4t A 3b-2=1,3a-2 = 4或3b 2= 1 9a +b =.【睥缶】首先应该将等式化简,然后根据等式的形式再作进一步的分析，1歹+沪 11 a b a- b-1_ ab _ 2171 = +b= 3 a ba = 2 > b = 1,二a+b = 3 ,其中，后式无整数解，舍去.（2）连等比例式求值这类问題一般可以找出几个字母或者代数式间的之间的比例关系，然后带入目标分式求值。°35 5x-v【例2】（2007年联赛）己知兀沪满足亍云则尹|的值为（A1c.D.W<rl b.Z洱x，所以5x- yy+2z5x- 3x 13x+3x3故选B.（3）裂项【例3】（2007年联赛）对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程宀仗+莎-/“的两个根记作也叮心"，则任7二7）+他一2）1一2）1a200?-2)(b2007 - 2)【科析】-罟|由根与系数的关系得an+t = n + 2, a-b-Zn2,所以(an - 2)( - 2) = ah-2®+0) + 4 =-2n2 - 2(n+2) + 4 =-2n(n + l) 1 1 则(an - 2)(bn - 2) = 2n(n + l) = _1I1I(a2 - 2)(b2 - 2)(a3 - 2)(b3 - 2)1/1110032 丁 2008_ 4016（2 3）+（34）+，+（2007 20081=（4）分式的分拆Mx+N c chfe+N【例4】（1994年联赛）若在关于x的恒等式笫斗二亠一斗中.芈为最简分 x* +x- 2 x+a x + bx+x-2式，且有 a>b, a+b = c,贝9 N =【斛析】-4 . x2+x-2=(x+2)(x-1),所以 a = 2,b = -l,c=a+b = l,所以2(x-l)(x+2)=Mx+N.所以N = -4配对配对是初中阶段的常规方法，利用分式其独特的代数结构，分式中也经常出现考察配对 放法的题目。【例5】（2007年联赛）当次分别取值爲瘾，血，1, 1 , 2,2005 ,1 TJ2006, 2007时，计算代数式£的值，将所得的结果相加，其和等于（A. -1B. 1C. 0D. 2007n2 -11-n2n2 +1 + 1 + n2。，即当x分别取值"（n为正整数）时,计算所得的代数式的值之和为S而当归时,济。.因此，当x分别取值爲茁嘉"得各代数式的值Z和为0故选C，2005 , 2006 2007 时.计算所（6）整体与恒等变形整式中的整体求值，在分式中依然得到考察，并且在后续的二次根式中也有大童考察。 【例6】（2012年竞赛）如果a.b.c是正数，且满足a+b + c=9, 丄 +亠 + 丄二咚， a +b b + c c + a 9那么丄+上一+化的值为.b + c c + a a +b由己知可得+=b + c c + a a +b9-b-c 9-c- a 9- a -b+b + cc + a a +b9999+ b + c c + a a +b【例7】（2011年联赛）已知-+ =7*丄+丄=，-+ =7»则二+ - + -的值x y+z 2 y z + x j z x+ y 4 x y z为（）35A. 1B一C. 2Dx+y + z_ xy+z 2y+zx x+y+z3x+ z同理可徐齐融u4 _ x+y z x+y+z34则二+i+2=2（x+y+z）x+y+z(7)恒等变形【例8】(2011年联赛)己知a+b = 2,(1_汀+(l_b)=_4,则ab的值为()baA1B-1C一丄D.丄l|*r Bo 由=_4可得a(i_ay+b(l-b)2 = -4ab ,ba即(a +b)- 2(a2 +b2)+ a3 +b3 +4ab = 0 即 2- 2(a2 +b2)4-2(a2 - ab+b2)+4ab = 0 ,即 2- 2ab + 4ab = 0 ,所以 ab = -1.2、迭代【例9】（2012年联赛）己知互不相等的实数a,b,c满足a + i = b+i = c+- = t,则2 b c a±1 由a + £ = t得b=一，代入b+- = t得+ = t ,整理得 bt- act - a cct2-(ac + l)t + (a-c) = 0。又由 c + - = t 可得 ac+l= at,代入式得act2 - at2 + (a - c) = 0 ,即(c_a)(F_l)= 0,又 ch a,所以 t2-l = 0 > 所以31a+1t = ±1 验证可知：b =,c=时t = 1 ； b =,c =时t = 一11- a a1+ aa因此，t二±1.【例（呃年联赛）己知实数心'd互不相等，且“冷+十+卜d+p, 试求X的值.3、结合乘法公式（1）直接使用公式在分式中立接或者间接使用乘法公式，会大大优化和丰富我们的解題思珞。 a2 b2 c2【例11】（2004年联赛）已知abcHO,且a+b + c=O,则代数式+ + 的值是（） be ca abA3B. 2C. 1D. 0Ao a3 +b3 +c3 - 3abc= (a +b + c)( a2 +b2 + c2 - ab - be - ca) = 0 .a3+b3+c3 => abcJr2pry I、 abc所以一+ + becaab(2) 结合不等式不等式是初中阶段的学生不披长处理的问题，配方带来的非负性常常帯来一类不等式问 题，这类问题从整式中随I乘法公式以及配方的技巧延续到了分式之中。【例12】(2010年联赛)若a,b是两个正数，且 + + 1 = 0,则()b a11一 44A. 0 < a +b W B. va+b W1C 1 v a + b W D一va+b W 23333【1祈】c去分母之后得到a(a-l)+b(b-l)+ab = O,即a + ab+b?-a-b0给定a和b是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0,则另一个等于0或1；当a=b时,有a=b = ;利用排除法，选C。(3) 多元乘法公式【例13】(2012年联赛)已知实数a、b,c满足abc二一 1, a+b + c = 4,abc _ 4a2-3a-l b2-3b-lc?_3c_9【斛析】33T因为 a'-3a-1= a2 - 3a + abc = a (be + a - 3) = a(bc-b-c + l)=a(b-l)(c-l) ,，/lU'a2_3a_!(b-l)(c-l)同理可得 =, =lr -3b-l (a -l)(c-l) c_ _3c_l (a -l)(b-l),. abc 4( r 1s1s=a-3a-l b-3b-l r-3c-l 91114nJ 侍H+= 9(b - l)(c -1)(a- l)(c -1)(a- l)(b -1)94所以一(a l)(b l)(c 1) (a 1) + (b1) + (c1).结合 abc 1 > a+b + c 4 > 口J得 ab + be + ac =.4因此,a2 + b2 + c2 = (a + b+ c)2 -2(ab + bc+ ac)=2实际上,满足条件的a,b,c可以分别为一丄，丄,42 24、轮换式【例14】（2009年联赛）己知a,b,c为正数，满足如下两个条件:a+b + c=32b+c-a c+a-b a+b-c 1+=-becaab 4证明：以苗，y/b，«为三边长町构成-个直角三角形W*rl将两式相乘.得土斗空犬*泌占