例说数学思想方法

例说数学思想方法例说数学思想方法数学习题浩瀚无边，问题又可变式发散，这样习题就林林总总，题量就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是制胜的法宝，以下就本学期有关的数学思想方法做一个简单的阐述一、化归思想“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将 “未知”的问题“已知化” ， “复杂”的问题“简单化” 化归思想是解决问题的常见思想方法【例 1】ABC 为等边三角形，三边的长均已在图中标出，求的值分析：因为ABC 为等边三角形，故AB=BC=CA，所以 2x-8=x+63y+2，稍加组合可得2x-8=x+6，可以求出 x 的值，然后回代又可求出 y的值解：因为ABC 为等边三角形，故AB=BC=CA，所以 2x-8=x+63y+2，又因为 2x-8=x+6，解得，x14，将 x14 代入 x+63y+2，解得，y6，将 x14 y6 代入下式：点评：本题利用“化归”的思想，将三角形的三边的长转化成一元一次方程，此处应注意的是方程的组合，不同的组合可能得到的是二元一次方程组，从而加大了计算量和解答难度二、分类讨论思想有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的【例 2】 （五城市联赛题）若 ab0，求的值分析：因为 ab0，则 a0，b0或 a0，b0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果解：因为 ab0，则 a0，b0或 a0，b0，当 a0，b0 时， ， ，1+1-11当 a0，b0 时， ， ，1113故当 ab0， 1 或3点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果三、整体思想与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑在整体思想中，往往能够找到问题的捷径【例 3】已知，求的值分析：若将问题中的 x 看成一个未知数，将其求出，然后代入后式中求值，显然计算复杂繁琐，计算量偏大，但将看成一个整体，通过通分得到，继而看作整体，求其倒数得到，对比联想，容易找到解决问题的思路解：因为 ，则所以，则，所以 ，将 代入XX点评：本题若不运用整体的思想方法解题，则计算复杂繁琐，而整体思想的运用，化难为易，整体思想是一种技巧，也是一种重要的思想方法四、数形结合思想数形结合思想，是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的数（量） ，利用图形的直观表达，然后利用图形的性质（特征） ，分析解决问题，有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征） ，利用数（量）的关系来加以解决的思想方法，也是一种重要的思想方法【例 4】 （北京市“迎春杯”数学竞赛题）已知：a0，b0，且 a+b0，那么有理数a，b，-a，的大小关系是（用“”连接） 解析：因为 b0，b，因为a0，b0 且 a+b0，根据有理数加法法则，可得，以形辅数，在数轴上表示它们的位置关系，又根据相反数的定义，可以得到a，b，a，b 的位置关系故 baab，即baa【例 5】如图，AC=AB,BD=AB, 且 AE=CD,则 CE为 AB 长的（）(A)(B)(C)(D)分析：若将线段的长度具体数量化，则容易得到各线段的长度关系解：设 AB=12a，AC=AB=4a，BD=AB=3a,所以 CD=AB-AC-BD=12a-4a-3a=5a，又因为 AE=CD，AC+CE=5a，即 4a+CE=5a，所以 CE=a，则，故选 C点评：正如我国著名的数学家华罗庚所言“数形结合百般好，隔离分家万事非” ，将图形的数量关系，辅之以数，则更加具体直观，从而快速得到问题的答案数学习题浩瀚无边，问题又可变式发散，这样习题就林林总总，题量就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是制胜的法宝，以下就本学期有关的数学思想方法做一个简单的阐述一、化归思想“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将 “未知”的问题“已知化” ， “复杂”的问题“简单化” 化归思想是解决问题的常见思想方法【例 1】ABC 为等边三角形，三边的长均已在图中标出，求的值分析：因为ABC 为等边三角形，故AB=BC=CA，所以 2x-8=x+63y+2，稍加组合可得2x-8=x+6，可以求出 x 的值，然后回代又可求出 y的值解：因为ABC 为等边三角形，故AB=BC=CA，所以 2x-8=x+63y+2，又因为 2x-8=x+6，解得，x14，将 x14 代入 x+63y+2，解得，y6，将 x14 y6 代入下式：点评：本题利用“化归”的思想，将三角形的三边的长转化成一元一次方程，此处应注意的是方程的组合，不同的组合可能得到的是二元一次方程组，从而加大了计算量和解答难度二、分类讨论思想有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的【例 2】 （五城市联赛题）若 ab0，求的值分析：因为 ab0，则 a0，b0或 a0，b0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果解：因为 ab0，则 a0，b0或 a0，b0，当 a0，b0 时， ， ，1+1-11当 a0，b0 时， ， ，1113故当 ab0， 1 或3点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果三、整体思想与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑在整体思想中，往往能够找到问题的捷径【例 3】已知，求的值分析：若将问题中的 x 看成一个未知数，将其求出，然后代入后式中求值，显然计算复杂繁琐，计算量偏大，但将看成一个整体，通过通分得到，继而看作整体，求其倒数得到，对比联想，容易找到解决问题的思路解：因为 ，则所以，则，所以 ，将 代入XX点评：本题若不运用整体的思想方法解题，则计算复杂繁琐，而整体思想的运用，化难为易，整体思想是一种技巧，也是一种重要的思想方法四、数形结合思想数形结合思想，是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的数（量） ，利用图形的直观表达，然后利用图形的性质（特征） ，分析解决问题，有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征） ，利用数（量）的关系来加以解决的思想方法，也是一种重要的思想方法【例 4】 （北京市“迎春杯”数学竞赛题）已知：a0，b0，且 a+b0，那么有理数a，b，-a，的大小关系是（用“”连接） 解析：因为 b0，b，因为a0，b0 且 a+b0，根据有理数加法法则，可得，以形辅数，在数轴上表示它们的位置关系，又根据相反数的定义，可以得到a，b，a，b 的位置关系故 baab，即baa【例 5】如图，AC=AB,BD=AB, 且 AE=CD,则 CE为 AB 长的（）(A)(B)(C)(D)分析：若将线段的长度具体数量化，则容易得到各线段的长度关系解：设 AB=12a，AC=AB=4a，BD=AB=3a,所以 CD=AB-AC-BD=12a-4a-3a=5a，又因为 AE=CD，AC+CE=5a，即 4a+CE=5a，所以 CE=a，则，故选 C点评：正如我国著名的数学家华罗庚所言“数形结合百般好，隔离分家万事非” ，将图形的数量关系，辅之以数，则更加具体直观，从而快速得到问题的答案数学习题浩瀚无边，问题又可变式发散，这样习题就林林总总，题量就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是制胜的法宝，以下就本学期有关的数学思想方法做一个简单的阐述一、化归思想“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将 “未知”的问题“已知化” ， “复杂”的问题“简单化” 化归思想是解决问题的常见思想方法【例 1】ABC 为等边三角形，三边的长均已在图中标出，求的值分析：因为ABC 为等边三角形，故AB=BC=CA，所以 2x-8=x+63y+2，稍加组合可得2x-8=x+6，可以求出 x 的值，然后回代又可求出 y的值解：因为ABC 为等边三角形，故AB=BC=CA，所以 2x-8=x+63y+2，又因为 2x-8=x+6，解得，x14，将 x14 代入 x+63y+2，解得，y6，将 x14 y6 代入下式：点评：本题利用“化归”的思想，将三角形的三边的长转化成一元一次方程，此处应注意的是方程的组合，不同的组合可能得到的是二元一次方程组，从而加大了计算量和解答难度二、分类讨论思想有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的【例 2】 （五城市联赛题）若 ab0，求的值分析：因为 ab0，则 a0，b0或 a0，b0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果解：因为 ab0，则 a0，b0或 a0，b0，当 a0，b0 时， ， ，1+1-11当 a0，b0 时， ， ，1113故当 ab0， 1 或3点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果三、整体思想与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑在整体思想中，往往能够找到问题的捷径【例 3】已知，求的值分析：若将问题中的 x 看成一个未知数，将其求出，然后代入后式中求值，显然计算复杂繁琐，计算量偏大，但将看成一个整体，通过通分得到，继而看作整体，求其倒数得到，对比联想，容易找到解决问题的思路解：因为 ，则所以，则，所以 ，将 代入XX点评：本题若不运用整体的思想方法解题，则计算复杂繁琐，而整体思想的运用，化难为易，整体思想是一种技巧，也是一种重要的思想方法四、数形结合思想数形结合思想，是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的数（量） ，利用图形的直观表达，然后利用图形的性质（特征） ，分析解决问题，有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征） ，利用数（量）的关系来加以解决的思想方法，也是一种重要的思想方法【例 4】 （北京市“迎春杯”数学竞赛题）已知：a0，b0，且 a+b0，那么有理数a，b，-a，的大小关系是（用“”连接） 解析：因为 b0，b，因为a0，b0 且 a+b0，根据有理数加法法则，可得，以形辅数，在数轴上表示它们的位置关系，又根据相反数的定义，可以得到a，b，a，b 的位置关系故 baab，即baa【例 5】如图，AC=AB,BD=AB, 且 AE=CD,则 CE为 AB 长的（）(A)(B)(C)(D)分析：若将线段的长度具体数量化，则容易得到各线段的长度关