【数学】基本初等函数的导数课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课堂小结3.利用导数的几何意义解释实际生活问题利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会体会“数形结合数形结合”,“以直代曲以直代曲”的数学思想方法的数学思想方法.瞬时速度平均速度y=f(x)平均变化率瞬时变化率在 x=x0 处函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数P0Poxyy=f(x)割割线线切切线线T几何意义割线P0P的斜率切线P0T 的斜率1.导数的定义导数的定义 如果当x0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function)(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y，即复习引入2.2.导数的几何意义导数的几何意义函数函数yf(x)在在xx0处处的的导导数数 f(x0)就是切就是切线线的斜率，即的斜率，即3.如何求函数y=f(x)的导数?5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数 高中数学人教A版（2019）选择性必修2探究新知探究新知1.函数函数 yf(x)c 的导数的导数即即也就是说任意一个也就是说任意一个常数的导数是常数的导数是0.追问：若y=c(如图示)表示路程关于时间的函数，则y=0的物理意义是什么？若若y=c表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终可以解释为某物体的瞬时速度始终为为0，即一直处于静止状态，即一直处于静止状态.所以路程保持不变，是关于时间的常值函数所以路程保持不变，是关于时间的常值函数.xyOyc2.函数函数 yf(x)x 的导数的导数即即若若y=x(如图示如图示)表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则y=1可以解释为某物体做瞬时可以解释为某物体做瞬时速度为速度为1的匀速直线运动的匀速直线运动.可以解释为某物体做瞬时速度为可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动的匀速直线运动.xyy=xO追问：若y=x(如图示)表示路程关于时间的函数，则y=1的物理意义是什么？3.函数 yf(x)x2 的导数即即追问1：y=2x的几何意义是什么？表示函数yx2的图象上点(x,y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y=2x表明：当x0时，随着x的增加，|y|越来越大，yx2增加得越来越快.追问追问2：若表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？某物体做变速直线运动，某物体做变速直线运动，它在时刻它在时刻x的瞬时速度为的瞬时速度为2x.4.函数 yf(x)x3 的导数追问追问1：还有没有其它得到：还有没有其它得到 的方法的方法？即即追问2：y3x2的几何意义是什么？xyOyx3 y3x2表示函数表示函数yx3的图像上的点的图像上的点(x,y)处切线的斜率为处切线的斜率为3x2,这说明随这说明随x x的变化，切线的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数的斜率也在变化，且恒为非负数.追问3：随着随着x的变化，函数的变化，函数y=x3的导数的导数y3x2也在变化，导数随也在变化，导数随x的变化的变化反映出了函数反映出了函数y=x3怎样的变化？怎样的变化？当当x0时，随着时，随着x的增加，的增加，|y|越来越大，越来越大，y=x3增增增加得越来越快；当增加得越来越快；当x0时，随着时，随着x的增加，的增加，|y|越来越小，越来越小，y=x3增加得越来越慢增加得越来越慢.从导函数的从导函数的非负性来看，除非负性来看，除x=0时函数的导数为时函数的导数为0外，函数的导数恒为正，因此函数外，函数的导数恒为正，因此函数在定义域上恒为增函数在定义域上恒为增函数.xyOyx35.函数 yf(x)的导数x1追问1:画出函数画出函数 的图象的图象.根据函数根据函数 的图象，的图象，结合函数的导数，描述它的变化情况结合函数的导数，描述它的变化情况.结合函数图象及其导数结合函数图象及其导数 发现，发现，当当x0时，随着时，随着x的增加，的增加，函数函数 减少得越来越慢减少得越来越慢.追问2：求出曲线在点：求出曲线在点(1,1)处的切线方程处的切线方程.x+y-2=0即即6.函数 yf(x)的导数Oxy即即追问1：该函数的定义域及其导数的该函数的定义域及其导数的定义域是否一样？定义域是否一样？不一样不一样，原函数的定义域为原函数的定义域为x|x 0，导数的定义域为导数的定义域为x|x 0.问题问题:前面几个函数都是我们学过的一类基本初等函数前面几个函数都是我们学过的一类基本初等函数幂函数，幂函数，根据这些幂函数的导数结果，根据这些幂函数的导数结果，你能总结出对于一般你能总结出对于一般幂函数幂函数 的导函数公式吗？的导函数公式吗？(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二项式系数表二项式系数表二项式系数表二项式系数表111211331146411510 10511615 20 1561南宋南宋杨辉杨辉(nN*)详解九章算法详解九章算法记载的表记载的表公式公式证明：证明：的情况的情况.说说明明：实实际际上上，此此公公式式对对nR都都成成立立，但但证证明明较较复复杂杂，此此处处只只给出了给出了nN*的证明的证明(nN*)看几个例子:练习.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.分析：分析：这两个公式的证明需要用到三角函数的和差化积公式这两个公式的证明需要用到三角函数的和差化积公式和重要的极限和重要的极限证明证明:(公式公式3)以下公式需熟记，但其推导过程不要求掌握，仅作了解以下公式需熟记，但其推导过程不要求掌握，仅作了解证明证明:公式公式5：对数函数的导数对数函数的导数 （1）重要极限重要极限 证明：证明：前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用基本初等函数的导数公式 必须熟记于心！【思路点拨】解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式，再利用公式求导提示：不正确函数f(x)2的导数解析解析2为常数，为常数，f(x)0.问题探究例例3.假设某地在假设某地在20年间的年均通货膨胀率为年间的年均通货膨胀率为5%，物价，物价p(单位单位:元元)与时与时间间t(单位单位:年年)之间的关系为之间的关系为 其中其中p0为为t=0时的物价时的物价.假定某假定某种商品的种商品的p0=1，那么在第，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少是多少(精确到精确到0.01元元/年年)?解：解：根据基本初等函数的根据基本初等函数的导导数公式表，有数公式表，有所以，在第所以，在第10个年个年头头，这这种商品的价格种商品的价格约约以以0.08元元/年的速度上年的速度上涨涨如果某种商品的p0=5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少?