全国初中数学联合竞赛试题参考答案

全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相对应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1已知为整数，且满足，则的可能的值有（ C ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2已知非负实数满足，则的最大值为 （ A ）A B C D3在中，为的中点，于，交于，已知，则 （ B ）A B C D46张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字能够作为三角形的三边长的概率是 （ B ）A B C D5设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则 （ D ）A B C D16在中，在上，在上，使得为等腰直角三角形, ,则的长为 （ A ）A B C D二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1已知实数满足，则_0_2使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为 144 3已知为等腰内一点，为的中点，与交于点，如果点为的内心，则4已知正整数满足：，则 36 第二试 （A）一、（本题满分20分）设实数满足，求的值解 由已知条件可得，.设，则有， 5分联立解得或. 10分若，即，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根； 15分若，即，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以. 20分二（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足, 的延长线与的外接圆交于点. 证明：证明 由是平行四边形及已知条件知.5分又A、B、F、 D四点共圆，所以，所以， 15分所以. 20分又，所以，故. 25分三（本题满分25分）设是整数，如果存有整数满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？并说明理由.解 取，可得，所以1具有性质.取，可得，所以5具有性质.5分为了一般地判断哪些数具有性质，记，则.即 10分不妨设，如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.因此，1，5和2014都具有性质. 20分若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但20139×2236，矛盾，所以2013不具有性质. 25分第二试 （B）一（本题满分20分）同（A）卷第一题.二（本题满分25分）如图，已知为的外心，为的外接圆上一点，过点作直线的垂线，垂足为.若，求.解 延长交于点，延长交于点，由题意得，所以为的平分线. 5分又点在的半径上，点、在上，所以点、关于直线对称，. 10分延长交于点，因为为圆心，所以点、关于直线对称，.因此. 15分又，所以，所以，. 20分因此， ，即，所以. 25分三（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.（1）试判断1，2，3是否具有性质；（2）在1，2，3，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数有多少个？解 取，可得，所以1具有性质；取，可得，所以2具有性质；5分若3具有性质，则存在整数使得，从而可得，故，于是有，即，这是不可能的，所以3不具有性质. 10分（2）记，则.即 15分不妨设，如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.20分又若，则，从而，进而可知.综合可知：当且仅当或（为整数）时，整数不具有性质.又20149×2237，所以，在1，2，3，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数共有224×2448个. 25分