用字母表示数及整式提高知识讲解

数学是科学的大门和钥匙-培根用字母表示数及整式（提高）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值；3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系.【要点梳理】要点一、字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：abba乘法交换律可以用字母表示为：abba要点二、代数式1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.要点诠释：带等号或不等号的式子不是代数式，如，等都不是代数式.2.列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.要点三、整式1.单项式（1）单项式的定义：如，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 要点诠释：确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数圆周率是常数，单项式中出现时，应看作系数当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏2多项式(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 要点诠释：多项式的每一项包括它前面的符号 一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数要点诠释：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4要点诠释：重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列3.整式：单项式与多项式统称为整式要点诠释：（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式【典型例题】类型一、字母表示数1填空： (1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为_元(列出式子即可，不用化简)（2）有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖男生每人搬了40块，女生每人搬了30块这a名男生和b名女生一共搬了块砖（用含ab的代数式表示）【思路点拨】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.【答案】(1)；(2)（40a+30b）【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几 【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润售价进价; (2)利润率 举一反三：【变式】（2015自贡）为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（）Aa10%Ba10%Ca（110%）Da（1+10%）【答案】C类型二、代数式2为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费（1）若某用户10月份用去a度电，则他应缴多少电费？（2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？【思路点拨】当a140，应付费用分为两部分，一部分为0.43×140元，另一部分为0.57×（a-140）元.【答案与解析】解：（1）当a140时，电费为0.43a元；当a140时，电费为：元. （2）因为用电量为150度，大于140度，因此把a150代入代数式，得（元）.因此，该缴电费65.9元.【总结升华】根据a的不同取值，分别对应不同的代数式举一反三：【变式1】一个堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块a块，往下每层多铺一块，最下面一层铺了b块，共铺了n层，共铺石块 块？当a20，b40，n17时，堤坝的这个截面铺石块 块？【答案】（ab）n，510块.【变式2】代数式（ab）n的意义.【答案】答案不唯一，举一例：设某两数为，则表示“这两个数平均数的n倍.类型三、整式3（2015杭州模拟）整式0.3x2y，0，2a2b3c中是单项式的个数有（）A2个B3个C4个D5个【答案】C【解析】解：整式0.3x2y，0，2a2b3c中，单项式有：0.3x2y，0，2a2b3c，共4个【总结升华】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，即可得出答案举一反三：【高清课堂：整式的概念 例1】【变式】下列代数式：，其中单项式是_，多项式是_.【答案】， 4已知多项式 (1)求多项式各项的系数和次数 (2)如果多项式是七次五项式，求m的值【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+27，解得m2【总结升华】对于单项式的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识举一反三：【高清课堂：整式的概念 -练习题-3】【变式】多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数【答案】5（2016延庆县一模）已知：x25x=6，请你求出代数式10x2x2+5的值【思路点拨】先把10x2x2+5变形为2（x25x）+5，然后把x25x=6整体代入进行计算即可【答案与解析】解：10x2x2+5=2（x25x）+5，x25x=6，原式=2×6+5=12+5=7【总结升华】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚