[2017年整理]06刚体的简单运动
第1节 刚体的平行移动1.1.定义定义 刚体在运动过程中，体内任意一直线始终与其原来位置 保持平行，则称刚体作平行移动，简称平动。n n直线平动直线平动平动刚体内各点的轨迹为直线平动刚体内各点的轨迹为直线n n曲线平动曲线平动平动刚体内各点的轨迹为曲线平动刚体内各点的轨迹为曲线12.定理刚体平动时，体内各点的运动轨迹形状均相同，且在同 一瞬时体内各点的速度和加速度均相同。刚体平动的问题可归结为点的运动问题来处理刚体平动的问题可归结为点的运动问题来处理 。结论结论: :2荡木用两条等长的钢索荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长为l l，长度单位为长度单位为mm。当荡当荡木摆动时钢索的摆动规律为木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中，其中 t t 为时间，单位为为时间，单位为s s；转角转角 0 0的单位为的单位为radrad，试，试求当求当t t=0=0和和t t=2 =2 s s时，荡木的中点时，荡木的中点MM的速度和加速度。的速度和加速度。例例题题1 1刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题O OA AB BO O1 1O O2 2 l l l l（+ +）MM3由于两条钢索由于两条钢索O O1 1A A和和O O2 2B B的长度相的长度相等，并且相互平行，于是荡木等，并且相互平行，于是荡木ABAB在运在运动中始终平行于直线动中始终平行于直线O O1 1O O2 2，故荡木作故荡木作平移。平移。为求中点为求中点M M 的速度和加速度，只需求出的速度和加速度，只需求出A A点（或点（或B B点）点）的速度和加速的速度和加速度即可。点度即可。点A A在圆弧上运动，圆弧的半径为在圆弧上运动，圆弧的半径为l l。如以最低点如以最低点O O为起点，规为起点，规定弧坐标定弧坐标s s向右为正，则向右为正，则A A点的运动方程为点的运动方程为将将上式对时间求导，得上式对时间求导，得A A点的速度点的速度解解 ：例例题题1 1刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题O OA AB BO O1 1O O2 2 l l l l（+ +）MM4再求一次导，得再求一次导，得A A点的切向加速度点的切向加速度代入代入t t = 0= 0和和t t = 2= 2，就可求得这两瞬时就可求得这两瞬时A A点的速度和加速度，亦即点点的速度和加速度，亦即点MM在在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：A A点的法向加速度点的法向加速度例例题题1 1刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题O OA AB BO O1 1O O2 2 l l l l（+ +）MM0 00 0 0 02（铅直向上）铅直向上）0 0（水平向右）水平向右）0 00 0a an n(m/s (m/s2 2) )a at t(m/s (m/s2 2) )v v (m/s) (m/s) ( (radrad) )t t (s)(s)5第2节 刚体绕定轴的转动 1.1.定义定义 刚体运动时，体内有一条直线保持不动，而整个刚 体绕此直线旋转，则称刚体作定轴转动。n n不动直线称为转轴（轴线、轴）不动直线称为转轴（轴线、轴）n n不在转轴上的点作圆周运动不在转轴上的点作圆周运动62.运动方程(转动方程)转角的正负由右手螺旋法则确定。 即从Oz轴正端俯视，自固定平面N0至动 平面N，若是逆时针转动，则角为正 值，反之，则角为负值。 = =f f（t t）单位：弧度（单位：弧度（radrad） 3.3.角速度角速度 定义：定义：刚体转动的角速度等于转角对时刚体转动的角速度等于转角对时 间的一次导数。间的一次导数。物理意义：物理意义：刚体转动的角速度表示刚体转动的快慢和方向。刚体转动的角速度表示刚体转动的快慢和方向。 单位：单位：弧度弧度/ /秒（秒（radrad/s /s）与转速的关系：与转速的关系： = = n n /30 /30 转速转速n n的单位的单位: : r/minr/min74.角加速度物理意义：说明了角速度变化的快慢如 、 同号 刚体作加速转动如 、 异号 刚体作减速转动单位：弧度/秒2（rad/s2）定义：定义：刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数 ，转角对时间的二次导数，转角对时间的二次导数 = k k = k k角速度矢量角速度矢量85. 几种特殊运动匀速转 动匀变速转动匀变速转动9例例题题2 2刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题导杆机构如图所示。已知曲柄导杆机构如图所示。已知曲柄OAOA 以匀角速度以匀角速度 绕绕O O轴转动，其转动方程轴转动，其转动方程 = =tt，通过滑块带动摇杆通过滑块带动摇杆O O1 1B B绕绕O O1 1轴摆轴摆 动。设动。设OAOA= =r r，OOOO1 1= =l l=2=2r r ，求摇杆求摇杆O O1 1B B的转动方程。的转动方程。 假设任意时刻，机构处于图示位假设任意时刻，机构处于图示位 置，由几何关系可知：置，由几何关系可知： 解解 ：10第3节 转动刚体内各点的速度和加速度1. 1. 运动方程运动方程S S= =R R 2. 2. 点的速度点的速度大小大小: : v v= =R R 转动半径与刚体角速度的转动半径与刚体角速度的 乘积乘积 方向方向：沿着轨迹的切线方向：沿着轨迹的切线方向 ( (即即 与转动半径与转动半径R R垂直垂直) ) ，指，指 向与向与 一致一致 113. 点的加速度切向加速度 大小：at=R 转动半径与刚体转动的角加速度的乘积 方向：沿着轨迹的切线方向，指向与 一致 法向加速度 大小：an= R 2 方向：指向转轴(即圆心)点点MM全加速度的大小全加速度的大小 点点MM全加速度的方向全加速度的方向124. 结论：n在每一瞬时,转动刚体上各点的速度和加速度的大小与到转轴的距离成正比;n在每一瞬时,转动刚体上各点的加速度与半径间的夹角相同。13已知如图所示的摆绕已知如图所示的摆绕固定水平轴固定水平轴O O的转动方程是的转动方程是 ，式中，式中 表示摆对铅直线的表示摆对铅直线的偏角，偏角， 0 0为最大偏角；为最大偏角；T T 表示摆的周期。已知摆的表示摆的周期。已知摆的 重心重心C C到轴到轴O O的距离为的距离为l l，试试求在初瞬时和经过平衡位求在初瞬时和经过平衡位 置置( (=0 0) )时重心的速度和加时重心的速度和加速度。速度。 例例题题3 3刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题C CC C0 0l lC C1 1O O 0 0 14C CC C0 0l lC C1 1O O 0 0 将转动方程对时间求导，得摆的角速度将转动方程对时间求导，得摆的角速度和角加速度和角加速度以以t t = 0= 0代入上式，得摆在初瞬时的角速代入上式，得摆在初瞬时的角速度和角加速度度和角加速度 此时重心此时重心C C0 0的速度和加速度分别为的速度和加速度分别为此瞬时此瞬时C C0 0点的总加速度点的总加速度a a0 0等于切向加速度，方向指向角等于切向加速度，方向指向角 减小的一边。减小的一边。a a0 0解解 ：例例题题3 3刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题15C CC C0 0l lC C1 1O O 0 0 此时重心此时重心C C1 1的速度和加速度分别为的速度和加速度分别为此瞬时此瞬时C C0 0点的总加速度点的总加速度a a1 1等于法向加速度方向指向转轴等于法向加速度方向指向转轴O O。得摆在初瞬时的角速度和角加速度得摆在初瞬时的角速度和角加速度 每次经过平衡位置每次经过平衡位置 =0=0的瞬时，的瞬时，即即或或a av v1 1a a1 1= =a a1n1n因而因而代入代入例例题题3 3刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题16s sB BA AO OMMv vR R半径半径R R=20 =20 cmcm的滑轮可绕水平轴的滑轮可绕水平轴O O转动，轮缘上绕有不能伸长的细转动，轮缘上绕有不能伸长的细绳，绳的另一端与滑轮固连，另一绳，绳的另一端与滑轮固连，另一端则系有重物端则系有重物A A，设物体设物体A A从位置从位置B B出发，以匀加速度出发，以匀加速度a a =4.9=4.9 m/sm/s2 2向下向下降落，初速降落，初速v v0 0= =4 4 m/sm/s，求当物体落下求当物体落下距离距离s s = =2 2 mm时轮缘上一点时轮缘上一点 MM 的速度的速度和加速度。和加速度。例例题题4 4刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题17根据根据 v v2 2 v v 0 02 2 = = 2 2a as s，得，得MM点的速度点的速度MM点的法向加速度点的法向加速度MM点的切向加速度点的切向加速度 MM点的总加速度点的总加速度解解: :s sB BA AO OMMv vR R例例题题4 4刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题18如图如图a a，b b分别表示一对外分别表示一对外啮合和内啮合的圆柱齿轮。已啮合和内啮合的圆柱齿轮。已知齿轮知齿轮的角速度是的角速度是 1 1，角角加速度是加速度是 1 1，试求齿轮试求齿轮的角的角速度速度 2 2和角加速度和角加速度 2 2，齿轮齿轮和和的节圆半径分别是的节圆半径分别是R R1 1和和R R2 2，齿数分别是齿数分别是z z1 1和和z z2 2。O O1 1O O2 2O O1 1O O2 2（a a）（b b）例例题题5 5刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题19（b b）设设A A，B B是齿轮是齿轮，节圆上相啮合的点。节圆上相啮合的点。但但O O1 1O O2 2（a a）v vA Av vB BA A B Bv vA Av vB BA AB B 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2故得故得在这两啮合点间无相对滑动，因而它在这两啮合点间无相对滑动，因而它们具有相等的速度大小，同样也具有相等们具有相等的速度大小，同样也具有相等的切向加速度。于是有的切向加速度。于是有解解 ：例例题题5 5刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题转向分别如图所示。转向分别如图所示。O O1 1O O2 2传动比 20滑轮的半径滑轮的半径r r=0.2 =0.2 mm，可绕可绕水平轴水平轴O O转动，轮缘上缠有不可转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体伸长的细绳，绳的一端挂有物体A A（如图），已知滑轮绕轴如图），已知滑轮绕轴O O的的转动规律转动规律 =0.15=0.15t t3 3 ，其中其中t t以以s s计计， 以以radrad计计，试求，试求t t=2 =2 s s时轮缘上时轮缘上MM点和物体点和物体A A的速度和加速度。的速度和加速度。 A AO O MM例例题题6 6刚体的基本运动刚体的基本运动 例题例题21首先根据滑轮的转动规律，求得首先根据滑轮的转动规律，求得
