二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习

二项分布还是超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决.在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的.下面举例进行对比辨析.例1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求：(1) 有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；(2) 不放回抽样时，取到黑球的个数丫的分布列.解：(1)有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1, 2, 3.又由于每次取到黑球的概率1( 1、均为7，3次取球可以看成3次独立重复试验，则XB 3,-.5I 5丿(1、0 P(X = 0) = Co -3 15丿64125(1、iP (X = 1) = C-315丿48125(1、2P(X = 2) = C2 -3 15丿(4112125(1、3P( X = 3) = C 3 315丿(401125因此, X 的分布列为X0123P6412548125121251125(2)不放回抽样时，取到的黑球数丫可能的取值为0,1, 2,且有:P(Y = 0)=715P(Y = 1)=C1C 28-C 3715P(Y = 2)=C 2C12 8C 31151010因此, Y 的分布列为Y012P77115151510例2|某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495, (495,500,(510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4(1) 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量，(2) 在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克 的产品数量，求Y的分布列；(3) 从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505 克的概率。17.解: (1)重量超过505克的产品数量是:40x(0.05x5+0.01 x5)=40x0. 3=12.(2)Y的分布列为：Y012PC 2C1 - C1C 228C 22g212C 2C 2 4040403(3)设所取的5件产品中，重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则Y B(5,), 从而P(Y=2)=C2(2 )2( 7 )3 = -3087 .5 101010000即恰有2件产品的重量超过505克的概率为竺7.10000超几何分布与二项分布特点(A) 判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征： 一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(M个)、B(N - M个)，任取n个，其中恰有X个Ck CnkA.符合该条件的即可断定是超几何分布，按照超几何分布的分布列P(X = k) =mCnN(k = 0,1,2, m)进行处理就可以了.(B) 二项分布必须同时满足以下两个条件:在一次试验中试验结果只有A与A这两个，且事件A发生的概 率为p ,事件A发生的概率为1- p ;试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事件A发生 的概率都是同一常数p，事件A发生的概率为1 - p.辨析：通过2个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率 都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型而不放回抽样时，取出一个则总体中 就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型因此，二项分布模型和超几 何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样所以，在解有关二项分布和超几何分布问题 时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的例1与例2中的EX=EY=注意超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的判断方法(1) 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；(2) 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)(3) 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。二项分布、超几何分布、正态分布练习题一、选择题1. 设随机变量EB6, £|,则P(g=3)的值为()52. 设随机变量Eb(2, p),随机变量nb(3, p),若p(g $1) =9，则P(n$i)=()3一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了 E次球，则P(E=12) = ()A Cio(8)" (8)B- C9i(8)(8)2 8 C CID (8)D-阵(8) (8)4.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()A-,1)B-(0,C-(0,D-,1)5-已知随机变量E服从正态分布N(2,02)，P(£W4)=,则 P(EV0) = ()A-B-0.32C-D-二、填空题16. 某篮运动员在三分线投球的命中率是2,他投球10次，恰好投进3个球的概率.7. 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X个红球，则X的分布列为.8某厂生产的圆柱形零件的外径£N(4,.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测 得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格-三、解答题9、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核 辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率 11为三，第二轮检测不合格的概率为乔，两轮检测是否合格相互没有影响.6 10(丨)求该产品不能销售的概率；(II)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损 80元(即获利-80元)已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布 歹U，并求出均值E(X).10、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500 名志愿者中随机抽样100 名志愿者的年龄情况如下表所示（I）频率分布表中的、位置应填什么数据并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）， 再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在30，35）岁的人数；（II）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活 动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁” 的人数为X，求X的分布列及数学期望.45202530354011、2015年南京青奥组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”身高在175cm 以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” (I)I)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子” 再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少 若从所有“高个子”中选3名志愿者，用g表示所选志愿者中能担任男女9157 7 S 9 99 81612 4 5 8 9S 6 5 0172 3 4 5 57 4 2 1130 1113礼仪小姐”的人数，试写出g的分布列，并求g的数学期望.二项分布、超几何分布、正态分布参考答案解析：P( E =3) =C365答案：A51解析：tp（e$i）=2p（i-p）+p2=9，/-p=3，.p（n 列）=c3（3）（3）2+c2（3）2（3）+c3（3）3=27,故选 D-解析：P（E=12）表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P（=12）=C；1 8XI）2X8-答案：B 解析:C14p(1p)3WC24p2(1p)2，即 2(1p)W3p,.pM 又Tp<1,.Wp<1由题意知所求概率p=C3o1577 128解析:tP(EW4)=, U=2,.P(EV0)=P(E>4)=1 = .故选 A.解析：解析：C0C2C1C1C2C0这是超几何分布，P(X=0)=£=； P(X=1)=-=； P(x=2)=£=, 5551、23456789、分布列如下表：X012P解析：根据3。原则，在43X=4+3X=之外为异常，所以这批零件不合格.(丨)记“该产品不能销售”为事件A,则P(A) = 1 (11 x (1 -1) = 1.6 10 41所以，该产品不能销售的概率为4 -(II)由已知，可知X的取值为320,200,-80,40，160 .1 1 1 3 3P(X = 320) = ()4 =,P(X = 200) = C1 - ()3 -=-42564 '4464P(X = 80) = C2 - (4)23274胆面P( X = 40) = C 34丄-(i)3=2Z4 464P( X = 160) = (3)4 =481256所以X的分布列为X-320-200-8040160P1256364271282764812561 1分11272781E(X) =320 x 200 x 80 x + 40 x +160 x 二 402566412864256故均值E（X）二40-12分 补全频率分布直方图如图所示.10、（丨）处填20,处填0.35 ；*频率 组距.iji500名志愿者中年龄在30,35)的人数为0.35 x 500二175人.(II)用分层抽样的方法，从中选取20人, 则其中“年龄低于30岁”的有5人， “年龄不低于30岁”的有15人故X的可能取值为0, 1，2 ；P( X 二 0)二C 22115-C 23820P(X 1)C1C1155C 215P(X 2)C22 -C 2382011分X012P2115238383820所以X的分布列为:/. EX 0x21 +1 x15 + 2x-383838211、(I)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是212分30611所以选中的