压缩映象原理及其应用

第六节 压缩映象原理及其应用 本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的-Banach压缩映象定理。定义（压缩映象）设T是度量空间X到X中的映照，如果对都有（是常数）则称T是X上的一个压缩映照。从几何上说：压缩映照即点x和y经过映照T后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍） 定理1（Banach压缩映照原理）1922年（Banach 1892-1945 波兰数学家）设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映照，则丅有唯一的不动点。即的使证：任取令（此即解方程的逐次迭代法）先证是Cauchy点列   先考虑相邻两点的距离再考虑任意两点的距离当n>m时 = =是Cauchy点列是完备度量空间,使下证x为不动点 再证不动点唯一若还有,使则 因 必须注:定理条件(a)X完备,(b)缺一不可，反例如下(a)若X不完备,则定理不成立例如:令X=(0,1),用欧氏距离, 则 但不动点(b)定理不成立例如:令 X=R用欧氏距离 则 但显然T无不动点。 若将空间X条件加强为紧距空间，则压缩因子条件可放宽为1，即可改为 限于我们的学时，我们只介绍一下Banach压缩映象原理的简单应用。定理2（隐函数存在定理）设在带状区域上处处连续，处处有关于y的偏导数,且如果存在常数m,M，适合.则方程f在闭区间上有唯一的连续函数,使。证：（在中考虑映照，若其为压缩映照，则有不动点）在完备度量空间中作映照,显然,对由连续函数的运算性质有。是到自身的一个映照下证是压缩的.即证 ,任取由微分中值定理,存在,使令 则 ,故 取最大值 映照T是压缩的.由Banach压缩映象定理在上有唯一的不动点使 显然这个不动点适合注： 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach压缩映照定理解题的一般方法。   此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数. 下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用-Picard定理.定理3：（Picard定理 Cauchy-Peano微分方程解的存在唯一性定理） （Picard 法国人 18561941 Peano意大利人1858-1932） 设在矩形上连续,设又在R上关于x満足Lipschitz（德国人 1832-1903）条件,即存在常数k使对有 ,那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的连续函数解.其中证：设表示在区间上的连续函数全体。对成完备度量空间。又令表示中满足条件的连续函数全体所成的子空间。显然闭,因而也是完备度量空间.令 如果 当 时,而 是R上的二元连续函数,映照中积分有意义。又对一切 故T是到的一个映照 下证是压缩的。由Lipschitz条件,对中的任意两点 有 令 ,则由 有 .则 故T是压缩的。由Banach压缩映象定理,T在中有唯一的不动点.即 使 即 且 即 是满足初值条件的连续解。再证唯一性。如果 也是 满足 的连续解.那么 因而 而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的.故 有唯一解。注：题设条件中Lipschitz条件的要求是十分强的，它保证了解的唯一性。实际上満足Lipschtz条件即为一致收敛。因而可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广义解，即只要求满足积分方程 则题设条件可大大放宽：只要 有界,即可利用Lebesgue控制收敛定理得到广义解。注意到Banach压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法-逐次逼近法：即只要任取 令 则解 .且在Banach不动点定理的证明中,有 .即此式给出了用逼近解的误差估计式。    补充：Brouwer不动点是定理与Schauder不动点定理简介鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单介绍Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其简单应用。一、Brouwer不动点定理及其应用：（一）Brouwer不动点定理（Brouwer：荷兰人 1881-1966） 定义（凸集）：X为一集,若 则称A为X的凸子集。定理1（Brouwer不动点定理）：设为 的有界闭凸集，连续,则 使.证：1、若 证明如下：不妨设 作辅助函数 显然在 上连续.从而变成证明 使 即可.显然:否则 则0为f之不动点; 否则则1为f之不动点:(证毕)由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得使 证毕。2、若 ,其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生不动点定理及其应用,或一般常微分方程教材的附录。3、注意到Brouwer不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些条件可以减弱。下面我们讨论Brouwer不动点定理的应用。（二）证明代数基本定理： 代数基本定理：复系数一元n次方程 至少有一个复根。证：令 作辅助函数 考虑闭圆盘：显然 c为有界闭凸集，且连续（只要考虑z=1连续即可，而这是显然的。）。下证 将c映入c:当 时 当 时 = 将 c映入 c. 由Brouwer不动点定理 使 使 证毕（三）证明Perrou定理：Perrou定理：矩阵 使 .即：正矩阵一定存在正特征值和特征向量。证：设 ,令 为标准单纯形，则 .作映照 显然为连续映照.下面先证 将 映入 .注意到 .则 由Brouwer不动点定理 使 即 .令 则有 .下证 的每个分量 严挌大于零.由 的第i个分量方程为正矩阵一定存在正特征值和特征向量。 （四）Rother证明定理：Brouwer定理条件可以减弱，作为Brouwer不动点定理的推广，下面我们证明Rother定理。Rother定理： 为单位球，在 上连续,且当 时,使 . 证：作辅助函数 则 连续,且 .作 ,则F在上连续,且将映入.由 Brouwer不动点定理,F有不动点.即 ,使得 .下证此 为 之不动点.若 若 先用反证法证明 .若 ,则 矛盾,.从而 故 f有不动点. 证毕Brouwer不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系，我们就不再多谈。对此有兴趣的同学可参阅张石生不动点理论及其应用。我们可以进一步将Brouwer不动点定理推广到无穷维空间这就是Schauder不动点定理。二、Schauder不动点定理：（Schauder:1899-1940）首先我们注意到度量空间中：紧集列紧闭集（致密闭集），在拓扑空间中：紧集任意开复盖都有有限复盖之集。Schauder不动点定理：紧凸集到自身的连续映照必有不动点。证：（略）Schauder不动点定理的应用（略）。我们还可以将Schauder不动点定理再推广到多值映照得到Kakutani不动点定理。