专题17.4 勾股定理与最短路径问题的七大类型-八年级数学下册（人教版）（解析版）

专题17.4 勾股定理与最短路径问题的七大类型【人教版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对勾股定理与最短路径问题的七大类型的理解！【类型1 平面图形上的“捷径”问题】1（2023春·安徽合肥·八年级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走米，踏之何忍？”如图，若AB17米，BC8米，则标牌上“”处的数字是（    ）A6B8C10D11【答案】A【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案【详解】在RtABC中，由勾股定理得，AC=AB2BC2=17282=15（米)，AC+BCAB=15+817=6（米)，故选：A【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键2（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草  【答案】4【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果【详解】解：依据题意可得：C=90°，AC=3m，BC=4m，AB=AC2+BC2=32+42=5m，少走了3+45=2m，2步为1米，2×2=4，故答案为：4【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题是解题的关键3（2023春·八年级单元测试）如图，有两条互相垂直的街道a和b ，a路上有一小商店A,b路上有一批发部B 小商店主人每次进货都沿着 AOB路线到达 B处，然后原路返回已A,B两处距十字 路口 O的距离分别为 600 米、800 米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么往返一趟最多可比原来少走 米【答案】800【分析】连接AB，由勾股定理解得AB=1000，根据两点之间线段最短，可知最近的路线是从A直接到B，往返一趟需要走2000米，再求出原来走的路线往返一趟需要走2800米，据此求出差即可解答【详解】解：连接AB，AOB=90°，AB=OA2+OB2=6002+8002=1000，根据两点之间线段最短，可知最近的路线是从A直接到B，往返一趟需要走1000×2=2000米，原来走的路线往返一趟需要走2×（600+800）=2800米，最近路线比原来路线少走2800-2000=800米，故答案为：800【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键4（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m技术人员通过测量确定了ABC=90°  (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？(2)这片绿地的面积是多少？【答案】(1)6m(2)114m2【分析】（1）连接AC，利用勾股定理求出AC=AB2+BC2=92+122=15m，问题随之得解；（2）先利用勾股定理逆定理证明ADC是直角三角形，DAC=90°，再根据三角形的面积公式即可求解【详解】（1）如图，连接AC，  ABC=90°，AB=9m，BC=12m，AC=AB2+BC2=92+122=15m，AB+BCAC=9+1215=6（m），答：居民从点A到点C将少走6m路程（2）CD=17m，AD=8mAC=15m，AD2+AC2=DC2，ADC是直角三角形，DAC=90°，SDAC=12ADAC=12×8×15=60（m2）， SACB=12ABAC=12×9×12=54（m2），S四边形ABCD=60+54=114（m2），答：这片绿地的面积是114m2【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键5（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，某学校进大门是一直角通道（ABC），为方便学生进入教学楼，学校打开了操场绿色通道（AC）进行分流，学生可以走“捷径AC”直接到达教学楼，若AB80米，BC60米，则走“捷径AC”可以少走多少米？【答案】走“捷径AC”可以少走40米【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题【详解】解：在RtABC中，AB=80米，BC=60米，AC=AB2+BC2=802+602=100（米)，AB+BCAC=60+80100=40（米)，答：走“捷径AC”可以少走40米【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是理解题意求出AC的长【类型2 平面图形上的“饮水”问题】1（2023春·八年级课时练习）如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB2=120试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB（）A6  B8C10D12【答案】B【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A，使得AA4，连接AB，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BEAA，交射线AA于点E，则A'B为所求，最后利用勾股定理可求得其值【详解】解：如图，过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A，使得AA4，连接AB，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BEAA，交射线AA于点E，AAa，MNa，AAMN又AAMN4，四边形AANM是平行四边形，AMAN由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为ABAE2+3+49，AB2=120，BE2=AB2AE2=39AEAEAA945，AB=AE2+BE2=8所以AM+NB的最小值为8故答案为：B【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质、两点间距离最短等知识点，解答本题的关键是找到点M、点N的位置是解答本题的关键2（2023春·河南许昌·八年级校考期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的A处牧马，若牧童从A点向南继续前行7km到达点C则此时牧童的家位于C点正东方向8km的B处牧童打算先把在A点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算【答案】画图见详解，牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km【分析】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD根据题意可知：牧童的行走路线为AF+BF，根据A点关于河岸l的对称点为D，可得AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，根据题意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD【详解】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD，如图：牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中，牧童的行走路线为AF+BF，A点关于河岸l的对称点为D，AF=DF，AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，A点距离河岸l为4km，AD=4×2=8（km），AC=7km，DC=AD+AC=8+7=15（km），根据题意可知C=90°，BC=8km，BCD是直角三角形，BD=DC2+BC2=152+82=17，答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出图形，找到最短回家路线是解答本题的关键3（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水（水管需直接到A、B村）.(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）：(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？【答案】(1)见解析(2)100000元【分析】（1）属于“将军饮马”类型的题目，作点A的对称点E，连接BE，与CD的交点的位置就是修建水厂的位置（2）先作出直角三角形，再利用勾股定理即可【详解】（1）如图，作点A的对称点E，连接BE，交CD于点P，点P的位置就是修建水厂的位置（2）如图，过点E，作BD的垂线EF，交BD的延长线于点FAP+PB=FP+PB=FB=EF2+BF2=32+42=520000×5=100000元答：最节省的铺设水管的费用为100000元【点睛】本题考查“将军饮马”类型题的作图，以及勾股定理，准确作图是解题的关键4（2023春·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习）“数学建模”：(1)模型小马喝水问题：直线MN表示一条河流的岸，在河流同侧有A、B两地，小马从A地出发到B地，中间要在河边饮水一次，请在图中用三角板作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置（保留作图痕迹）(2)运用和最小问题：如图，长方形ABCD，E是BC的中点，AB=4，BC=43，P是对角线BD上的一个动点，求PCPE的最小值【答案】(1)见解析(2)PE+PC的最小值为6【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A连接AB交直线l于点P，则点P即为所求点；（2）作E关于BD的对称点E，连接CE，则PE+PC的最小值即为CE的长；由已知可求 EBE是等边三角形；过点E作EGBC，再利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求点；（2）解：作E关于BD的对称点E，连接CE，则BE'=BE，EBD=E'BD，则PE+PC的最小值即为CE的长；AB=CD=4，BC=43，BD=42+(43)2=8，BD=2CD，E为BC的中点，DBC=30°，EBE=60°， EBE是等边三角形，且EB=BE=EE=23，过点E作EGBC， BG=GE=3，在Rt EBG中，EG=(23)2(3)2=3，在Rt CEG中，CG=43-3=33，CE=(33)2+32=6；PE+PC的最小值为6【点睛】本题考查矩形的性