博文教育2017年985高校自主招生数学模拟试卷及参考答案

2017 年奥数 A 班 综合检测二试卷第 1 页共 10 页2017 年985高校自主招生数学模拟试卷 M A T H E M A T I C S 姓名：学号：（2017 年 6 月） 本卷满分： 150 分考试时间： 120 分钟 一、填空题 （共 10 小题，每题 9 分，计 90 分） 1.已知平面上三个不同的单位向量cba，满足 21cbba，若 e为平面内的任意单位向量，则ecebea32的最大值为2.将各位数字和为 10 的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列na，若2017na，则 n3.正四面体的四个面上分别写着2、0、1、6将四个这样的正四面体同时掷于桌面上，与桌面接触的四个面上的四个数的乘积能被4 整除的概率为4.在平面直角坐标系 xOy中，给定三点340，A，01 ，B，01 ，C，点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线AB， AC 距离的等比中项若直线 L 经过ABC的内心（设为点 D） ，且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，则 L 的斜率 k 的取值范围是5.20161x的展开式中不能被7 整除的系数的个数为6.ABC中，1ACAB则其内切圆半径r 的最大值是7.已知 01022xxxxxf， ，方程042121222axxxfxxf有三个实根321xxx，若12232xxxx，则实数 a8.如图， 正方体1111DCBAABCD在平面 的上方，点 O 是线段11CA的中点，直线 OA 与平面 所成角为3 当正方体1111DCBAABCD绕 OA 旋转一周时， 则平面DCDC11与平面 所成角的正弦值的取值范围是9.四个半径为 1的球彼此相切，三个在地板上，第四个在它们上面， 一个边长为 S的四面体的面与这些球都相切，则 S的值为第 8 题博文教育（淘宝店铺栏搜索3 4 56 1 3 3 3 ）提供最新版中小学各科学习资料2017 年奥数 A 班 综合检测二试卷第 2 页共 10 页10. 已知正实数，使得对任意三个复数1,221zzzzzC，若1230zzz，则22 122331123|z zz zz zz z z，则的最小值是二、解答题 （共 3 小题， 11题 16 分，12 题 20 分，13题 24 分，计 60 分） 11. 已知数列na满足nnnaaa331 1，Nn，11a 若22a，xa3，94a，求 x 的取值范围； 设na是公比为 q 的等比数列，nnaaaS21， 若nnnSSS331 1，Nn，求 q 的取值范围 若kaaa，21成等差数列，且100021kaaa，求正整数 k 的最大值，以及 k 取最大值时相应数列kaaa，21的公差博文教育（淘宝店铺栏搜索3 4 56 1 3 3 3 ）提供最新版中小学各科学习资料2017 年奥数 A 班 综合检测二试卷第 3 页共 10 页12. 证明：若 cos是有理数，且存在有理数q，使得q，则2110cos，博文教育（淘宝店铺栏搜索3 4 56 1 3 3 3 ）提供最新版中小学各科学习资料2017 年奥数 A 班 综合检测二试卷第 4 页共 10 页13. 已知0a44212lnxaeaxxxf 当1a时，求xf的最大值； 判断函数xf零点的个数，并说明理由博文教育（淘宝店铺栏搜索3 4 56 1 3 3 3 ）提供最新版中小学各科学习资料2017 年奥数 A 班 综合检测二试卷第 5 页共 10 页2017 年 985 高校自主招生数学模拟试卷（参考答案） MATHEMATICS Examination paper reference answer 本卷满分： 150 分考试时间： 120 分钟 一、填空题 （共 10 小题，每题 9 分，计 90 分） 1 考点： 向量，三角变换 难度： 答案：212 考点： 分类计数 难度： 2017 年全国高中数学联赛江西预赛答案：120 3 考点： 概率 难度： 答案： 2562474 考点： 直线与曲线（圆，双曲线） ，轨迹方程，分类讨论思想 难度： 答案：11 5 考点： 由一般到特殊，二项式，组合 难度： 答案：846 考点： 最值（代数式），三角代换 难度： 答案： 211557 考点： 直线与曲线（圆，双曲线） ，分段函数，绝对值 难度： 2017年浙江省高中数学竞赛答案： 2317（右见参考函数图像）博文教育（淘宝店铺栏搜索3 4 56 1 3 3 3 ）提供最新版中小学各科学习资料2017 年奥数 A 班 综合检测二试卷第 6 页共 10 页8 考点： 立体几何（线，面），三射线定理 难度： 答案： 126103126103，9 考点： 立体几何（球） 难度： 第 29 届国际数学奥林匹克（IMO ）预选题 答案：62210 考点： 虚数， （集合） ，最大模原理难度： 2016 年第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试（CMO） 答案：1 分析：由连续性，问题等价于条件、结论都是的情况。 在高等数学中有最大模原理，解析函数在自变量在边界时达到最大模。所以，容易想到当22 122331123|z zz zz zz z z最大时，123,z z z 至少有两个在边界，即满足| 1z，而22 122331123|z zz zz zz z z=2232 122331123|()|iiz zz zz z ez z z e，故不妨设1212| | 1,ReRe0,zzzzx则32zx，10,2x所以2222224 122331123|14|2 |14161z zz zz zz z zxxxx，所以min1下面设法证明之 。不妨设123,z z z 中3z 的模最大，因为3| 1z， 将每个数都乘以1 3z代替原来的数，则左边更大，此时31z，因为1230zzz，设12,1, ,0zxyi zxyi x yR y，则0x1，代入化简得f左边=22222222(2xy-y)(1)()xxyxxy，先固定 x，得'228 ()yfy xxy，所以' yf 先负后正，f先减后增，在两端最大，当0y时，22112()122fxx，当y最大时，12|,|zz至少一个为 1，不妨设2| 1z，以下同前面分析，即旋转为1z 在 x 轴负半轴上，设1(01)zxx，则左边222(1)1xx，所以min1。博文教育（淘宝店铺栏搜索3 4 56 1 3 3 3 ）提供最新版中小学各科学习资料2017 年奥数 A 班 综合检测二试卷第 7 页共 10 页二、解答题 （共 3 小题， 11题 16 分，12 题 20 分，13题 24 分，计 60 分） 11 考点： 数列性质与求和 难度： (16 分) 可能有多种解法，酌情给分 分析与解如下：分析（1）依题意：，又将已知代入求出 x 的范围；（2）先求出通项：，由求出，对 q 分类讨论求出 Sn分别代入不等式SnSn+13Sn，得到关于 q 的不等式组，解不等式组求出 q 的范围 （3）依题意得到关于 k 的不等式，得出 k 的最大值，并得出 k 取最大值时 a1，a2，ak的公差解答解： （1）依题意：，；又3 x 27，综上可得： 3 x 6 （2）由已知得，当 q=1时，Sn=n， Sn Sn+1 3Sn，即，成立当 1q 3 时， Sn Sn+1 3Sn，不等式q1，故 3qn+1qn2=qn（3q1）22qn20 对于不等式 qn+13qn+2 0，令 n=1，得 q23q+2 0，解得 1 q 2，又当 1 q 2，q30， qn+13qn+2=qn（q3）+2 q（q3）+2=（q1） （q2） 0 成立，1q 2，当时， Sn Sn+1 3Sn，即，此不等式即，3q10，q30， 3qn+1qn2=qn（3q1）22qn20，qn+13qn+2=qn（q3）+2 q（q3）+2=（q1） （q2）0 时，不等式恒成立， q的取值范围为：博文教育（淘宝店铺栏搜索3 4 56 1 3 3 3 ）提供最新版中小学各科学习资料2017 年奥数 A 班 综合检测二试卷第 8 页共 10 页（3）设 a1，a2， ak的公差为 d由，且 a1=1，得即当 n=1时， d 2；当 n=2，3， ，k1 时，由，得 d，所以 d，所以 1000=k，即 k22000k+1000 0，得 k 1999 所以 k 的最大值为 1999，k=1999 时，a1，a2， ak的公差为点评 本题考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法；考查不等式组的解法； 找好分类讨论的起点是解决本题的关键 12 考点： 数学归纳法，三角，整系数多项式难度： 2016 年江苏省奥林匹克数学夏令营测试卷 (20 分) 可能有多种解法，酌情给分 分析与解如下：博文教育（淘宝店铺栏搜索3 4 56 1 3 3 3 ）提供最新版中小学各科学习资料2017 年奥数 A 班 综合检测二试卷第 9 页共 10 页13 考点： 导数，零点 难度： (24 分) 可能有多种解法，酌情给分博文教育（淘宝店铺栏搜索3 4 56 1 3 3 3 ）提供最新版中小学各科学习资料2017 年奥数 A 班综合检测二试卷第 10 页共 10 页严禁盗版博文教育（淘宝店铺栏搜索3 4 56 1 3 3 3 ）提供最新版中小学各科学习资料