矩形的判定（分层作业）-八年级数学下册（人教版）（解析版）

人教版初中数学八年级下册18.2.2 矩形的判定 同步练习夯实基础篇一、单选题：1下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（  ）A有三个角是直角B对角线互相平分且相等C对角线互相垂直且相等D一组对边平行且相等，一个角是直角【答案】C【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；D、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；故选：C【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键2如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（    ）ABCD【答案】A【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；【详解】解：A、四边形是平行四边形，平行四边形是矩形，故选项A符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；C、四边形是平行四边形， ，平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；D、四边形是平行四边形， ，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键3如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（    ）A3B4C5D【答案】C【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，ADC=90°，OA=OC，从而得证AOECOE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可【详解】如图，连接EC， 矩形ABCD，AD=BC=8，AB=CD=4，ADC=90°，OA=OC，AOE=COE=90°，OE=OE，AOECOE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，在RtDEC中，x=5，AE=5，故选C【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键4如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB是等边三角形，OEBD交BC于点E，CD2，则CE的长为（    ）A1BCD【答案】D【分析】先根据等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定证出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，最后根据线段和差即可得【详解】解：四边形是平行四边形，是等边三角形，平行四边形是矩形，设，则，在中，即，解得或（不符题意，舍去），故选：D【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键5如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、分别为边、的中点若，则四边形的面积为（） A48B24C32D12【答案】D【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可【详解】解：点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，EFBD，且EF=BD=3同理求得EHACGF，且EH=GF=AC=4，又ACBD，EFGH，FGHE且EFFG四边形EFGH是矩形四边形EFGH的面积=EFEH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12故选：D【点睛】本题考查的是中点四边形解题时，利用了矩形的判定以及矩形的性质，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形6如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（    ）ABCD【答案】A【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当，利用,可得即可证明四边形EFGH是矩形【详解】解：点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，且，且，四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH是矩形，即，故选：A【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用推出7如图，在直角三角形中，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（    ）A2B2.4C2.5D2.6【答案】B【分析】根据题意可证四边形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂线段最短得CM最短进而可得EF最短，最后进行计算即可【详解】连接CM，MEAC，MFBC，MEC=MFC=90°,C=90°，四边形ECFM是矩形，EF=CM，当CMAB时，CM最短，如下图：当CMAB，在RtABC中，=，CM=2.4，CM的最小值是2.4，EF=CM=2.4，EF的最小值是2.4故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、垂线段最短定理和勾股定理，解决此题的关键是要找到CM最短时的情况二、填空题： 8.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加_（写出一个合适的条件即可）【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定条件求解即可【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD，又AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键9一个木匠要制作矩形的踏板他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板理由是_【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形故答案是三个角是直角的四边形是矩形【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用10如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是_【答案】【分析】连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得【详解】解：如图，连接，分别为的中点，四边形为平行四边形，要使平行四边形为矩形，则，故答案为：【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键11如图，、分别为角平分线，则四边形是_【答案】矩形【分析】首先根据角平分线的性质证明MPQ+NPQ90°，再证明四边形PMQN是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定【详解】解：PM、PN分别平分APQ，BPQ，MPQAPQ，NPQBPQ，APQ+BPQ180°，MPQ+NPQ90°，即NPM90°，ABCD，APQPQD，QN平分PQD，PQNPQD，MPQNQP，PMQN，同理QMPN，四边形PMQN是平行四边形，NPM90°，四边形PMQN是矩形故答案为：矩形【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形12如图，矩形ABCD中，BEAC于点E，若ACB23°，则DBE_度【答案】44【分析】由矩形的性质可知OBC=ACB=23°，则可求得AOB度数，由直角三角形的性质可得DBE的度数【详解】解：四边形ABCD是矩形 AC=BD，OA=OC，OB=OD， OB=OC， ACB=OBC=23° ，AOB=ACB+OBC=46°，且BEAC ，DBE=44° 故答案为：44【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得OBC的度数是解题的关键13如图，在面积为36的四边形ABCD中，ADC=ABC=90°，AD=CD，DPAB于点P，则DP的长是_【答案】6【分析】作DEBC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到ADP=CDE，则可利用“AAS”证明ADPCDE，得到DP=DE，SADP=SCDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6【详解】如图，作DEBC，交BC延长线于E，DPAB，ABC=90°，四边形BEDP为矩形，PDE=90°，即CDE+PDC=90°，ADC=90°，即ADP+PDC=90°，ADP=CDE，在ADP和CDE中，ADPCDE，DP=DE，SADP=SCDE，四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，DP2=36，DP=6故答案为6【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件也考查了正方形和矩形的性质本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形三、解答题： 14如图，在中，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出，得出，先证出四边形是平行四边形再证明四边形是矩形即可【详解】（1）证明：、，四边形是平行四边形，；（2）证明：，平分，四边形是平行四边形，四边形是矩形【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，是解决问题的关键