常微分方程与运动稳定性_第三篇

第三篇 定性理论1第一章 奇点第二章 相平面法第三章 极限环内内 容容2第五章 奇 点第一节 常点与奇点第二节 一次奇点第三节 非线性项对奇点的影响3第一节 常点与奇点研究二维方程组(5.1)(5.2 )点P(x0,y0）称为(5.1)的奇点，若:反之,如 X(x0,y0), Y(x0,y0) 中至少有一个不等于零 ，则此点称为(5.1)的常点。性质:过常点有唯一解，但奇点处解至少不唯一4由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化 为原点，因而总认为原点是（5.1）的奇点。在原点邻域内将 X, Y 展为泰劳级数，得：(5.3)X2，Y2 -所有二次项 以上的全体.则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点。(5.4)如果第二节 一次奇点5(5.5)研究以下线性系统特征方程是(5.6 )其特征根为(5.8 )(5.7 )其中6(5.9)通过非奇异线性变换，可将(5.5)化为：(1) q 0，2 0，p 0，1、2为相 异正实根，积分曲线方向远离原点。 奇点为不稳定结点p17 p20p168(3) q>0，p>0，p24q0, v>0，将(5.5)化为：(5.10)x图5.3yo再变换 x =r cos, y =r sin(5.10) (5.11)其解为r= r0 e -ut，=0+ v t，相应的轨线如图奇点为稳定焦点 q>0, p0, p>0, p2-4q=0, 12为一对负重根。这 又可分为两种情况；y图(5.4)x0其轨线形状如图 -稳定临界结点.其解为(b) 初等因子是重的。(5.5) 可化为：p17(5.13)p1610 所有轨线在原 点均与轴相切， 如图所示。 稳定退化结点yx ox oy图5.5当当q >0, p0, p0:1-2 vi,为一对共轭纯虚根将(5.5)化为：(5.14)其解为r=r0,=0+vt, 其 轨线如图-奇点称为中心图5.6x oy12奇点分类如下： 1. q0, p>0, p2-4q>0, 两根相异负实根稳定结点 ; 3. q>0,p>0,p2-4q=0, 两根为相等负实根临界结点或 退化结点。 4. q>0,p0, 两根为相异正实根不稳定结点 ; 5. q>0,p0,p0,p0,p0, 两根为共轭纯虚根中心.13稳定临界结 点或退化结 点 po图5.7q不稳定 焦点稳定 焦点中心不稳定临界结 点或退化结点不稳定结点稳定结点鞍 点高次奇点高次奇点p24q=0汇源14第三节 非线性项对奇点的影响(A1)X2，Y2 -所有高 于二次项的全体.研究以下非线性系统相应的线 性系统(A2)则原点（零解）若是(A2)的鞍点,正常结点、焦点 ，也是(A1)的鞍点,正常结点、焦点（解的结构相同 ），且稳定性保持不变；但(A2)的临界或退化结点 ，对(A1) 来说其结构可能发生变化。若满足：(A3)15定义2：设O(0, 0) 为孤立奇点， 若点列 An(rn,n)，当n时， rn0 ,n0 ,且n0 ，n为An点的方向场向量 与向径夹角的正切，称=0为特征方向。显然，若=0为固定方向，则必为特征方向Ar O3.1 奇点的性质 定义1：设 L 为轨线, 其上的点 A(r,),当 r0时,0 （t ），称L沿固定方 向进入奇点O(0, 0).鞍 点： 0，/2, 3 /2， 结 点： 0，/2, 3 /2， 焦 点： 无 退化结点： /2, 3 /2 或 0， 临界结点：任意方向p7 p8 p9 p10 p11016定义3： 轨线L与=0相交于P ,若P点向径与方向场 夹角为: 0 0(A7)(A8) xyI, III象限内 II, IV象限内 = 0, /2, , 3 /2 特征方向222. 鞍点情况 两特征根均为实根：设10xyI, III象限内 II, IV象限内 = 0, /2, , 3 /2 -特征方向, -正常区域 II (t) , -正常区域 II (t-)oxy结论：当0, , 内只有 一对轨线沿y轴趋于原点(当 t-时); , 内只有一对轨 线沿x轴趋于原点(当t时 ). 原点为鞍点 233. 焦点与中心的情况 焦点情况与结点、鞍点相似：线性部分为焦点 时，加上非线性项仍为焦点且稳定性不变;对于线性部分为中心的情况，加上非线性项后，可 能依然为中心，但也可能变为（不）稳定焦点;例：线性部分为中心x=r cos y=r sin 可见：中心 稳定焦点 不稳定焦点 24引理：系统(A1)的原点为中心的充分必要条件：存 在与时间无关的正则积分：Fi i 次齐次多项式 若满足: X(-x, y)= X(x, y)Y(-x, y)= -Y(x, y)对于：(A8)(8)的轨线对称于y轴若满足: X(x, -y)=-X(x, y)Y(x, -y)= Y(x, y)(8)的轨线对称于 x 轴yx(A1)25能否给出判断稳定性的依据? -问题实质:如何 确定奇点的性质与（A9）系数之间的关系。(A9)4. Arnold 问题（1976年）5. 对于方程组：齐按照线性部分特征根的不同情况进行讨论.26分为以下几个方面： (1)两特征根为实根或共轭负根，此时奇点将为 稳定或不稳定结点，焦点或不稳定鞍点; (2)两特征根为一对纯虚根，线性奇点为中心， 加上高次项后，为中心或焦点; (3)两特征根一是零根，另一个正实根，奇点为 不稳定; (4)两特征根一是零根，另一个负实根，这是所 谓Lyapunov第一临界情况; (5)两特征根全为零根，又可分为两种情况:初等因子是简单的，化为齐次方程研究; 初等因子是非简单的，奇点为不稳定。27第一节 保守系统的基本性质第二节 带有参数的保守系统第三节 耗散系统第四节 轨线的作图法第六章 相平面法28第一节 保守系统的基本性质 一、保守系统-能量（机械能）保持守恒的系统。 单自由度系统的运动微分方程：其积分曲线方 程(轨线方向):(6.3)p32由(6.2.), 系统的奇点为： y=0，f(x)=0 (6.4)系统奇点（若有的话）分布在 x 轴上 29由(6.3)，当 f(x)=0, y0时，有 0，即轨 线切线水平。 由（6.3）求得积分曲线的方程：h 为常数-其力学意义为机械能守恒(6.5 ) 在 h V(x)0 的 x 区间内才有积分曲线 （6.6）（6.5） V(x0)= f(x0)=0 -系统奇点x0对应势能的极值其积分曲线方 程(轨线方向):(6.3)30在奇点x0邻域内将V(x)展开为泰劳级数(取到二次项):积分曲线方程（6.5）化为(6.8 )(6.7)V(x0)>0 V(x0) 极小值 (6.8) 椭圆方程 奇点 x0 为中心； V(x0)0, x>0; y 0 可看出，当参数增大时，奇点数目随之变化。f(x, ) > 036如令 (6.15) 则得(6.13)的积分曲线方程为：(6.16)由于Vxx” (x, ) = fx(x, ),因而在奇点x处： Vxx” (x, ) > 0 (fx(x, )>0)时，V-极小 中心； Vxx” (x, ) 0aa -中心 ( =1) 沿 x增加方向看f(x, )的变化，判断fx(x, )的符号bb -中心; c - 中心 鞍点 ( = 2)cded - 中心鞍点; e -中心 ( = 3)hg ff, h - 中心; g -鞍点 ( = 4)iji -中心; j -中心鞍点 ( = 5)25:中心2 , 3 , 5 分岔点 (奇点数目变化)f(x, ) 0。O1 -1图6.6-平衡位置: =0, =(0, ± ), 当| |> 1时;=0, =(0, ± , ± cos-1 ),当|0, g()在-, 上连续，且为2 的周 期函数，g(0)0，g(0) 0,当0时g( )>0 ，g()=0。显然，这是较例2更为一般情况，此时系 统由三个奇点:=0，=0，±，而且0 为稳定焦点或结点，±为鞍点。46(1) 等倾线法第四节 轨线作图法(6.27)(6.28)令(6.29)等倾线令k等于一系列不同的数值，得出一系列等倾 线，在每一等倾线上画出相应的dy/dx的方向， 然后用欧拉折线法便可大致描出轨线的图形。47例:令k1k2k348(2) Liénard作图法 适用于有以下形式的微分方程(6.34 )(6.34)在相平面上积分曲线方程为(6.35)为了得到坐标为（x, y）的任意点A处积分曲线 的切线方向，先在相平面上做出曲线 (6.36)A (x, y) B (-(y), y) C AE( AC)49直线CA的斜率为 yxyxBODCA(x, y)E图6.11它与(6.35) dy/dx的 乘积等于-1,因而 (6.35)积分曲线在A 点的切线方向应与 CA垂直。A (x, y) B (-(y), y) C AE( AC)50例4 受有干摩擦力与线性恢复力的 振动系统，其运动微分方程为为了应用Liénard作图法，需 使x的系数等于1。为此，作变 换 ，即可将上式化为:yxo然后，利用Liénard作图法，可以证明它的积 分曲线为一系列半圆所组成，这些半圆在x轴 上相连接，其圆心为 如图所示。51第七章极限环第一节 前 言第二节 极限环的存在性第三节 极限环的唯一性第四节 极限环的稳定性第五节 判断极限环不存在的定理52第一节 前 言 对于微分方程的积分曲线而言，它存在一条孤立 的单闭曲线，而在其领域内的其他积分曲线，均 以螺旋线形式向该闭曲线无限逼近，则这条闭曲 线称为极限环。力学意义：孤立周期解例1 (7.1)极坐标形式 (7.2)53由此可见，r=0即x=y=0是一个 奇点; 而r=1即x2+y2=1是一个周 期解.而其它积分曲线都是螺 线，即：当t时.对于r>1，有：故r单调减少而趋于1;xyO因而闭曲线 x2+y2=1 是稳定的极限环(7.2)故r单调增加而趋于1,对于r060xy图7.5下页下下页61环域的外境界线2的构造： 1. 画曲线 为极值点上页为中心的圆弧：A1B1 , C1D1-B1C1，B2C2则为二水平直线段为中心的圆弧：A2B2 , C2D22. 画以3. 现证明，当中的y充分大时，这样 作出的2可使只证明一个不等式(2-原点对称):62C2D2圆弧半径当y充分大时-只要|y|足够大，总可以满足用Liénard作图法容易得出，在1上的轨线均是自外 部指向内部。又(7.10)只有唯一的奇点原点，因 而2，2构成的环域内无奇点：vdP方程在该环域内 至少存在一个稳定极限环。上页63考虑Lienard方程 第三节 极限环的唯一性定理1. (7.12)有唯一的稳定极限环，若满足：Lienard方程是指下形方程 (7.12)g(-x)=-g(x),当x0时：xg(x)>0(2) 对一切x ，f 及 g 连续,且g满足Lipschicz条件(3) 设当x±时F± (4) 在x正半轴上F有唯一的零点 x=a (当0a时F(x)单调增加)。64(7.13 )证：(1)引入变换,则(7.12)化为