2021年天津市红桥区高考数学一模及答案
1.22021 年天津市红桥区高考数学一模一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合 Ax|x0，B2，1，0，2，则（RA）B（ ）A0，2 B2，1 C2，1，0 D2 2“|x1|2 成立”是“x（x3）0 成立”的（ ）A充分必要条件C必要而不充分条件B充分而不必要条件D既不充分也不必要条件3函数 yx3sin x的图象大致是（ ）ABCD4某校对高三年级 800 名学生的数学成绩进行统计分析全年级同学的成绩全部介于 80 分与 150 分之间，将他们的成绩按照 80，90），90，100），100，110），110，120），120，130），130，140），140，150分组，整理 得到如图频率分布直方图，则成绩在120，130）内的学生人数为（ ）A200 B240 C360 D280第 4 题第 5 题5九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3， 估算出堆放的米约有（ ）A14 斛B22 斛C36 斛D66 斛6已知函数 yf（x）在区间（，0）内单调递增，且 f（x）f（x），若af（ log 3121cf（ ），则 a，b，c 的大小关系为（ ）2），bf（2 ），AacbBbca Cbac Dabc12 2 î 8 2 2 2 2 7已知抛物线 y 2px（p0）上一点 M（1，m）（m0）到其焦点的距离为 5，双曲线 若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值是（ ）x 2ay 1 的左顶点为 A，A19B125C15D138已知函数 f（x）cos（2xp3）2sin（x+p4）cos（x+p4），xR，给出下列四个命题：函数 f（x）的最大值为 1；函数 f（x）的最小正周期为 ；函数 f（x）在 -p4，p4上单调递增；将函数 f（x）的图象向左平移p12个单位长度，得到的函数解析式为 g（x）sin2x其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4ì 0 ，0 <x £19已知函数 f（x）|lnx|，g（x） í ，若关于 x 的方程 f（x）+mg（x）恰有三个不相等的实数解，| x 2 -4 | ，x >1则 m 的取值范围是（ ）A（ln2，0 B0，ln2 C（2ln2，0 D0，2+ln2）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分10i 是虚数单位，则复数3 -i1 +2i 11在（x1x） 的二项展开式中 x 项的系数为 12已知直线 ax+y20 与圆心为 C 的圆（x1） +（ya） 4 相交于 A，B 两点， ABC 为等边三角形， 则实数 a 132021 年是中国共产党成立 100 周年，现有 A，B 两队参加建党 100 周年知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问1 2 2题，答对者为本队赢 1 分，答错得 0 分；A 队中每人答对的概率均为 ，B 队中 3 人答对的概率分别为 ， ，3 3 313，且各答题人答题正确与否互不影响，若事件 M 表示“A 队得 2 分”，事件N 表示“B 队得 1 分”，则P（MN） 14已知 x0，y1，且 x+y1，则x2+3 y+ 的最小值为 x y +115在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60°动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE =lBC ，DF =19lDC ，则 AE ×AF 的最小值为 22 22 2三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 3 acosBbsinA（）求B 的大小；（）若 cosA23，求 sin（2AB）的值；（）若 b2，c2a，求边 a 的值17如图所示，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADAB，ABBC2AD2，四边形 EDCF 为矩形，CF 3 ，平 面 EDCF平面 ABCD（）求证：DF平面 ABE；（）求平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值18如图，椭圆 E：x y+ =1a b2（ab0）经过点 A（0，1），且离心率为 2（）求椭圆 E 的方程；（）经过点（1，1），且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P，Q（均异于点 A），问直线 AP 与 AQ 的斜 率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由3n n n 2 19已知数列an 的前 n 项和 Sn 满足：Sn 2an+（1） ，n1 （）求数列an 的前 3 项 a1 ，a2 ，a3；（）求证：数列a +23（1）是等比数列；（）求数列（6n3）an的前 n 项和 Tn20已知函数 f（x）x（lnxm1），mR （）若 m2，求曲线 yf（x）在点（e，f（e） 处的切线方程；（）当 x1 时，求函数 f（x）的单调区间和极值；（）若对于任意 xe，e ），都有 f（x）4lnx 成立，求实数 m 的取值范围42 2 2 22 22 2 2 22021 年天津市红桥区高考数学一模参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1C 2C 3C 4B 5B 6B 7A 8C 9A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分1 710 - i5 51156 124± 1513227142+ 3152918三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16解：（） 3 acosBbsinA， 3 sinAcosBsinBsinA，sinA0，tanB 3 ，B（0，），Bp3（）cosA2 7 2 14，sinA 1 -cos 2 A = ，可得 sin2A2sinAcosA ，cos2A2cos A1 3 3 959sin（2AB）sin2AcosBcos2AsinB2 14 1 5 3 2 14 +5 3 ´ -( - ) ´ =9 2 9 2 18（）Bp3，b2，c2a，由余弦定理 b a +c 2accosB，可得 4a +c aca +4a 2a 3a ，解得 a 17（）证明：取 BC 中点 G，连接 DG，2 33 BG =12BC =1 =AD，又因为 ADBC，四边形 ABGD 为平行四边形，DGAB，又因为 ABAD，所以 DADG，四边形 EDCF 为矩形，所以 EDCD，又平面 EDCF平面 ABCD，平面 EDCF平面 ABCDCD， ED平面 ABCD，所以 EDDA，EDDG，于是 DA、DG、DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，5ì î ì î 2 2 22 2 2 2 2 22 2 1 1 11 2 3 AB （0，2，0），AE （1，0， 3 ），DF （1，2， 3 ）， 设平面 ABE 的法向量为 m （x，y，z），ïAB ×m=2 y =0íï AE ×m=-x+ 3z =0，令 z1， m （ 3 ，0，1）， DF ×m 3 + 3 0，又因为 DF平面 ABE，DF平面 ABE（）解： BE （1，2， 3 ），BF （2，0， 3 ）， 设平面 BEF 的法向量为 n （u，v，w），ïBE ×n=-u-2v + 3w =0 íïBF ×n=-2u+ 3w =0，令 v 3 ， n （2 3 ， 3 ，4），平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值为 =| m ×n | | m | | n |=102 × 31=5 3131c 218解：（）由题意知 = ，b1，结合 a b +c ，解得 a = 2 ，a 2椭圆的方程为x2+y =1（）由题设知，直线 PQ 的方程为 yk（x1）+1 （k2），代入 （1+2k ）x 4k（k1）x+2k（k2）0，由已知0，设 P（x1 ，y1 ），Q（x2 ，y2 ），x1x20，x2+y =1 ，得则 x +x = 1 24 k ( k -1) 1 +2 k， x x =1 22 k ( k -2) 1 +2 k从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和：kAP+kAQ=y +1 y +1 kx +2 -k kx +2 -k 1 + 2 = 1 + 2
