一道四边形题的多种解法

一道四边形题的多种解法很多问题的解决方法往往不唯一。如果同学们能够善于研究、善于挖掘，往往会 发现多种解法，正所谓条条大路通罗马！请看下面一例。已知：如图1,在 ABC中,AB=AC D为BC上任意一点，DHAB, DF，AC, CG ±AB求证：CG=DE+DF 分析：本题要求证的是一条线段等于另外两条线段的和， 直接证明有一定的难度, 常用的方法是截长补短，因此要考虑添加辅助线，转化为证明两条线段相等。法一：如图1,过点D作DHLCG则四边形DEG曲矩形。DE=GH又在 CD林口DCHfr, / CFDW DHC=90 , / FCDW B=/ HDC CD=CD, ACDFaADCHfAAS)CH=DFCG=CH+GH=DE+DF法二：（截长法）如图2,过点E作EM/CD交CG于点M由DECG知四边形CDE平行四边形。DE=CMEM=CD又在 MG序口 ADFC中，/EGM=CFD=90 , / FCDW B=Z GEM EM=CDGM=DFCG=CM+GM=DE+DF法三：如图3,过点C作CPU ER交ED的延长线于点K则四边形CGE出矩形CG=EH图3又在DHCffi4DFC中，/ CHD4 CFD=90 , / FCDW B=/ DCH CD=CD,曲FC £ ZiDHC (AAS)二 DF - DH.CG=EH=DE+DH=DE+DF法四：如图4,延长DE到点M使DM=CG并连接MG则四边形CDMGI平行四 边形。MG=DC又在 MEG口zDFC中，/GEMNCFD=90 , Z FCD B=Z MGf MG=D,CADFC=AMEG(AA9.EM = DF:.CG= DM= DE+ EM= DE* DF法五：如图5,过点B作BIVLFD交FD的延长线于点 M,作BHLAC交AC于点Ho 则知四边形BMF展矩形。图5BH=MF又在BCOzXCBFfr, Z BGC CHB=90 , / GBCW BCI BC=CBAECG 空 ACBH(AAS) CG - BHBDffRABDIVfr, Z BED BMD=90 , Z EBDWACBNDBM BD=BQABDE = ABDM(AAS)二 DE = DMDG=BH=MF=MD+DF=DE+DF法六：（补短法）如图6,过点B作BIVLFD交FD的延长线于点M,并过点C作 CNIBg BM的延长线于点No则知四边形MNC屋矩形。图6CN=FM又在BCGffi BCNfr, /BGC=BNC=90 , / GBCWACBW CBN BC=BC,ABCG =ABCN(AAS)CG=CN又在 ABD刖 ABDMfr, / BEDW BMD=9 0 , / EBDWACBWDBM BD=BD.ABDE -7BDM(AAS)J. DE = MD . CG=CN=MF=MD+DF=DE+DF法七：如图7,过点B作BHLAC交AC于点H,过点D作DMLBH交BH于点M= 则四边形DMHF1矩形。图7DF=MH又在BCGffiCBHfr, /BGC=CHB=90 , / GBC= HCB BC=BCABCG ACBH(AAS)BH=CG又在 ABD刖DBMfr, / BEDW DMB=9 0 , / EBDW ACBW BDM BD=BD,ABDE 工 ADBM(AAS)BM=DE . CG=BH=BM+MH=DE+DF法八：（等面积法）如图8,连接AD由题意可知Slftjc . J 知，”' SiAID . AB图8" S上AED + S1ACD- -CG = -.AC -DF即222而 AB=AC 故 CG=DE+DF通过以上一题多解的训练，不仅能够达到知识间的整合（如本例综合运用了全等 三角形、平行四边形、矩形等知识），而且能够发散同学们的思维。同时，通过 一题多解的训练，还让同学们掌握了一些添加辅助线的技巧， 有利于培养同学们 的探索精神和创新能力。