第40届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案

第40届全国中学生物理竞赛复赛试题(2023年9月16日上午9:00-12:00)考生必读1、 考生考试前请务必认真阅读本须知。2、 本试题共8道题，5页，总分为320分。3、 如遇试题印刷不清楚情况，请务必向监考老师提出。4、 需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上；写在试题纸和草稿纸上的解答一律不能得分。一、(40分)利用智能手机的相机可以进行光学实验。手机的镜头是一个由许多元件组成的系统，这些镜头元件 被封装后只有几毫米厚，因此可以安装在厚度不到一厘米的手机中。相机的图像传感器以像素为单位记录所拍摄 的物体的像，借助软件可以读取像的实际尺寸。在以下问题中，将手机镜头视为结构固定的共轴理想透镜组，可 以证明其物像关系等效于一个凸透镜，可以利用薄透镜成像公式进行有关计算。与薄透镜不同的是，需要在光轴 上确定一对参考点 H 、H' (称为主点)作为计算物距、像距、焦距的起点，如图la 所示。本题所有成像光路都 满足近轴条件。1透镜组薄透镜图 1a. 透镜组的物像关系和薄透镜的物像关系(1)物体通过镜头成像时，由于透镜组封装在手机内部，在镜头结构与参数未知的情况下无法直接确定主点位 置，因而无法直接用尺子测量物距u 的具体数值。实验中，可以沿光轴前后移动与光轴垂直、长度为1的刻度尺， 使其在物距为u 和 u 的两个位置分别成像，测量出刻度尺移动的距离s=u-u, 和对应像的长度大小1、lz。求：(i) 该镜头的等效焦距F (用测得的1、l 、l 和s 表示);(ii) 物距ui (用测得的1、l 、l 和s 表示)。(2)若透镜组由两个焦距分别为fi 和fz 的共轴薄凸透镜1和2组成，它们的光心分别为O 和 O, 间距为d。物(实或虚)的光依次通过透镜1和2成像时，透镜组存在横向放大率为+1的一对物面和像面(称为主平面), 它们与光轴的交点分别称为物方主点H 和像方主点H'。(i) 将 H 看作透镜1的“物”,求H 相对于O 的物距；将H'看作透镜2的“像”,求H'相对于O 的像距。(ii) 透镜组成像时，物距、物方焦距从物方主点H 算起，像距、像方焦距从像方主点H'算起，求物方焦距 F 和像方焦距F'。图 2a二、(40分)如图2a, 将一个粗细均匀、两端封闭的细玻璃管弯成半径为r 的半圆环(玻璃管的横截面半径远小于r), 竖直固定于水平地面上，两端面与地面接触；玻璃管内有一个质量为m 的活塞(薄金属片),活塞与管内壁密接，两者之间的摩擦可忽略不计，活塞在半圆环内相对于竖直方向的角位置记为。活塞两边管内各有n 摩尔的理想气体，且其温度始终与外界温度T (绝对温度)相同。已知重力加速度大小为g, 普适气体常量为R, 所有涉及的气体状态变化的过程均可视为准静态过程。(1)当温度T 高于某临界温度T 时，玻璃管的正中央(=0)是活塞的稳定平衡位置。求临界温度T 的表达式，并计算活塞在该平衡位置附近做微振动的圆频率；(2)当温度T=T, 时，分析并判断活塞在玻璃管正中央时平衡的稳定性。解答如下几问时，可将T 看作为已知参量，不必代入(1)中的结果。( 3 ) 当T<T 时，求活塞的稳定平衡位置与竖直方向的夹角Q,所满足的方程，并给出温度略小于T 时 Q 的近似 表达式(保留至非零的最低阶);( 4 ) 当T<T 时，求活塞在稳定平衡位置附近微振动的圆频率，对8,的依赖关系q,(0,) (表达式中可含有上一 问中的8参量，但不可包含T 参量),并给出温度T 略大于T 和略小于T 两种情况下，活塞微振动的圆频率对温 度的依赖关系；( 5 ) 当T<T, 时，假设活塞的初始速度近似为零，求活塞从正中央运动到可到达的角位置处的角速度大小。三、(40分)如图3a, 倾角为、质量为M 的三角形楔块放在光滑的水平地面上，其斜面上有一个质量为m 、半径为r 的匀质圆球，让该球从静止开始自由向下运动，整个过程中楔块无转动。重力加速度大小为g, 假设圆球与楔块之间的静摩擦因数和滑动摩擦因数均为。(1)若足够大，使得球无滑动地滚下，求： 图 3a(i) 楔块相对于地面的加速度的大小a:(ii) 匀质圆球质心相对于楔块的加速度的大小a;(iii) 地面对楔块的支持力的大小N;(iv) 楔块对圆球的支持力的大小N;(v) 为了使匀质圆球保持无滑滚动，球与楔块之间摩擦因数的最小可能值;(2)若小于第(1)(v) 问中的g, 且楔块斜面足够长，求圆球从静止开始运动一段时间At 后，圆球上与楔块接触的点P 相对于楔块的速度。四、(40分)北宋著名画家张择端所绘的清明上河图中有一座用木材制作的“编木拱桥”(图4a), 形成一道 飞虹架设在河上。四百多年后达·芬奇也曾留下类似的设计手稿，至今为世人称奇。图4b 是五个单元组成的编木 拱桥实物模型，每个单元包含一对与纸面平行的长杆和一根垂直于纸面的短杆，它没有钉也没有卯，整个结构的 所有组件在重力作用下互相挤压而结合在一起，靠支持力和摩擦力互相支撑，互相制约。真实桥梁需要在木材上 开槽，以提升桥的安全性。图 4b图 4a考虑一个简化的编木拱桥模型，即仅有三个单元的左右对称的拱桥，图4c 是其侧视图。在简化模型下，只 考虑拱桥在竖直平面(纸面)内的平衡，将与纸面平行的每一对长杆等效为一根质量为M 的杆，则此编木拱桥 可进一步简化为六根杆：三根短杆A 、A' 、B 和三根长杆C 、D 、D' 。所有的杆都是半径为R 的匀质圆柱体，没 有开槽。短杆的质量均为m, 长杆的长度均为L, 长杆之间互不接触。短杆B 表面是光滑的，其余杆之间的静摩2擦因数均为,杆与地面间的静摩擦因数为。长杆D、D '与水平地面的夹角均为0。重力加速度大小为g。图 4c 三单元编木拱桥侧视图(简化为六根杆)3图4d.A 杆的受力图图 4e.B 杆的受力图(1)已知图4c 中 D 杆下端到与A 杆的接触点之间的长度为a, 求 D 杆下端到与B 杆的接触点之间的长度b 的 表达式。(2)系统平衡时，考虑到杆A 与 A '对称，杆 D 与 D '对称，分析图4c 中 A、B、C、D 四根杆的受力情况。图 4d 、4e 分别给出了A 、B 两根杆的受力，请画出图4c 中 C 、D 两根杆的受力图，为简明起见，每一对作用力和 反作用力请用同一符号表示。对A、B、C、D 四根杆分别列出相应的力平衡方程(必要时包括力矩平衡方程)。 (3)设M=6m,=45°,L=30cm,a=16cm,R=2(Z-1)cm, 试求静摩擦因数和!满足什么数值条 件时，图4c 所示的结构能保持平衡(数值结果保留三位有效数字)?五、(40分)如图5a, 一个质量为m 、带电量为e 的正点电荷在固定于原点O 处的电偶极 子作用下运动，电偶极子的电偶极矩p 指向z 轴正方向。设r(t)是点电荷在t时刻的位置矢量，其大小为r(t), 与p 的夹角为(1)。已知r(t=0)=ro>0,(t=0)=0, 真空介电常量为,电偶极子的电场和电势分别为,图 5a其中 为r 的单位方向矢量。(1)假定点电荷在垂直于z 轴的平面内绕着z 轴作匀速圆周运动。据此确定0,以及点电荷 作圆周运动的速度大小v(2)假定t=0 时刻点电荷是静止的，(i) 求出在此后的运动过程中，点电荷相对原点O的角动量大小L 对的依赖关系L(0); (ii) 求出在此后的运动过程中，点电荷径向速率v,对r 的依赖关系v,(r);(iii) 0 满足什么条件时，点电荷的运动范围在空间上是有界的?不考虑点电荷与偶极子碰撞的情形，如果0 的数值正好取有界运动的边界值时，确定点电荷在竖直平面内的运动轨道；(iv) 如果0,的数值可使点电荷的运动是无界的，求点电荷的径向距离随时间的变化关系r(t)。4六、(40分)处在交变磁场中的块状导体，其内部会出现涡电流。利用涡 电流的热效应可加热和冶炼金属；利用涡电流的机械效应实现对导体的制 动、驱动、悬浮等。为了研究涡电流的这两个效应，考查如图6a 所示的 装置：半径为b、载有交变电流I(1)=Icos(or) 的线圈固定在水平桌面上；重量为G 、半径为a 、电导率为的导体球的球心位于线圈中心正上方高为h 处。设a<<b, 并设导体球的趋肤深度 ,其中g 为真空磁导率。忽略电磁辐射。(1)将原本内部无磁场的、半径同为a 的理想导体球( o) 置于均 匀、稳恒的外磁场 B。=B,中。已知此情形下磁化电流在球外产生的磁场图 6aB', 与置于球心处的理想磁偶极子(相当于小电流环)产生的磁场相同，即B'可以表示为其中m 是小电流环的磁矩(电流强度与面元矢量的乘积),也是该理想导体球的磁矩。将B。看作为已知，求磁 矩m, 并确定导体球表面的面电流密度分布；(2)求图6a 中所示的载流线圈在球心处t 时刻产生的磁感应强度B;(3)为了使导体球能够悬浮在所给位置处，I 应近似为多大?(假设o 足够大，以至于导体球在悬浮位置附近 的振动幅度可忽略)。提示：若磁偶极子的磁矩m 与其所在位置处的外磁场B, 均与z 轴平行，z 分量分别为m 和 B.=B,(z), 则磁偶极子所受安培力可以表示为(4)计算涡电流的热效应时，必须考虑在趋肤深度范围内的涡电流分布。为简单起见，设涡电流在趋肤深度内 沿着径向是均匀分布的，而导体球内部其余各处的涡电流则为零。试求涡电流在一个周期内的平均热功率的近似 表达式(要求最终表达式中不含8参量)。七、(40分)大气层最底部是对流层，厚度约为10km 。 在对流层中，空气的温度随高度升高而降低。对流层顶部之上10 km左右的范围内温度近似不随高度变化，被称为同温层；同温层之上一定 高度范围内大气温度会随高度升高而升高，被称为逆温层，如图7a 所示。在此基础 上，讨论如下问题：(1)由于阳光照射，地表附近的空气温度较高。对流层中温度变化可以看成是空气 缓慢地绝热上升的结果。求对流层中空气温度和高度的关系。设地表温度为T, 空 气是理想气体，其摩尔质量为,等压比热和等容比热的比值为常数,普适气体 常量为R。 对流层中重力加速度近似为常量g。(2)气体中声音的传播速度 , 其 中p 是压强， p 是气体的密度。不图 7a考虑风的影响，求声速与空气温度T 的关系，并讨论图7a 所示的大气各层中声速随高度的变化。(3)声波在声速不同的介质中传播时，也会发生折射和反射，遵循和光传播类似的规律。为简单起见，可以把 上述大气层模型进一步简化，假设大气各层之间的界面为平面，并且对流层的温度和逆温层中的温度都不随高 度变化，均为-10,同温层的温度为-55。在此模型中，考虑一个位于同温层内的声源，其发射的声波入相对强度射到同温层与对流层/逆温层的界面上。请分析对于不同的入射角，这些声波的折射和反射行为，即在什么情形 下，可以发生折射?在什么情形下，可以发生全反射?并定性画出相