第三华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第一试试题

数学竞赛 第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试及答案1.计算：+2说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？3观察下面数表（横排为行）：根据前5行数所表达的规律，说明这个数位于由上而下的第几行？在这一行中，它位于由左向右的第几个？4将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明。5某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，更立刻上车驶向学校，在下午2点40分到达问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？6在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子(如图)。一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚。当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？ 1.原式等于2.360的约数有24个，这些约数的和是11703.在第3939行中，自左至右第1949个4.至少要画10条直线5.8倍6.剩下124枚白子1.【解】原式2.【解】3602×2×2×3×3×523×32×5所以360有(31)×(21)×(11)24个约数约数的和是(122223)×(1十332)×(1十5)11703.【解】我们先注意，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，第五行的每个数的分子、分母之和等于6。由此可看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1。其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2。，即自左起第几个数的分母就是几。因此，所在的行数等于1991194913939。而在第3939行中，位于自左至右第1949个。4.【解】我们来一条一条地画直线画第一条直线将圆形纸片划分成2块。画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块(增加了2块)，否则只能划分成3块。类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同(即没有3条直线交于一点)，则将圆形纸片划分成7块(增加了3块)，否则划分的块数少于7块。下图是画3条直线的各种情形由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块教，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同。这时增加的块数等于直线的条数。这样划分出的块数,列表如下：直线条数纸片最多划分成的块数1112112311235112345112345不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。因为11231056，1123946，可见第9行右边还不到50。而第10行右边已经超过50了。答：至少要画10条直线。5.【解】我们先画一个图如下，其中A是学校，B是工厂，C是汽车和劳模相遇的地点。汽车从A到B往返需1小时，即从A到B需30分钟，汽车从A到C往返用了40分钟，即从A到C需20分钟，从而从C到B需302010(分钟)。因为汽车到达C点是2点20分，所以劳模从B到C共用602080(分钟)，从而汽车速度是劳模步行速度的8(80÷10)倍。6.【解】由于1990是偶数，在第一圈操作中，一共取走995枚白子，其中最后取的是黑子前面的一个子(即反时针方向第一个子)。这时还剩下995枚白子下一次取走黑子后面一个子(即顺时针方向第一个)。由于995是奇数，第二圈操作最后取的仍是黑子前面的一个子，共取走498枚白子，还剩下497枚白子。类似地，第三圈操作取走249枚白子，还剩下248枚白子。由于248是偶数，第四圈操作最后取走黑子，这时圆周上还剩下124枚白子答：圆周上还剩下124枚白子。