专题1不等式、函数与导数

第一篇知 识 专 题【考情报告】年份题型考点2011年2012年2013年小题第5题:对数函数的单调性(复合函数的单调性)第7题:利用基本不等式求最值第10题:线性规划第2题:分式不等式的解法第7题:函数性质的综合应用第8题:函数的导数与函数的性质第12题:函数的极限第3题:利用基本不等式求最值第6题:函数的零点大题第18题:利用导数求曲线的切线和函数的极值第16题:函数与导数(求解析式、求极值)第17题:函数与导数(求解析式、单调性、极值)【考向预测】函数是整个高中数学的主线,导数是研究函数性质的重要工具,函数的单调性是函数最重要的性质之一,它与不等式联系非常密切.本部分考查的内容主要有:函数的概念和性质,基本初等函数的图象、性质、应用,导数的概念和应用,不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式.考查学生的抽象思维能力、推理论证能力,运算求解能力及数学应用意识.从重庆第一年新课标高考来看,高考对这一部分内容注重考查基础知识和基本方法.预测2014年重庆高考关于不等式、函数与导数,仍会以考查函数的图象与性质,利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点,知识载体主要是二次函数、三次函数、指数函数、对数函数及分式函数.综合题的主要题型:(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题或逆求参数的取值范围;(2)以函数为载体的实际应用题,一般要先建立所求量的目标函数,再利用导数进行求解;(3)不等式、函数与导数的综合问题.【问题引领】1.函数y=ax+3-2(a>0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线+=-1上,且m>0,n>0,则3m+n的最小值为().A.13B.16C.11+6D.282.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为().A.-3B.-2C.-1D.03.若函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0,且a1)在区间(-,0)内单调递增,则a的取值范围是().A.,1)B.,1)C.,+)D.(-,1)4.过点P(2,-2)且与曲线y=3x-x3相切的直线方程是. 5.设函数f(x)(xR)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x0,1时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(x)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在-,上的零点个数为. 6.(2013重庆卷)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中aR,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【知识整合】一、不等式的性质不等式共有六条性质两条推论,要注意:1.可加性:a>ba+c>b+c.推论:同向不等式可加,a>b,c>da+c>b+d.2.可乘性:a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc.推论:同向(正)可乘,a>b>0,c>d>0ac>bd.二、不等式的解法1.一元二次不等式的解法:求不等式ax2+bx+c>0(a0)的解集,先求ax2+bx+c=0的根,再根据二次函数y=ax2+bx+c的图象写出解集.2.分式不等式:先将右边化为零,左边通分,转化为整式不等式求解.3.一元三次不等式,用“穿针引线法”求解(穿根时要注意“奇穿偶不穿”).三、线性规则1.解答线性规则的应用问题,其一般步骤如下:(1)设:设出所求的未知数;(2)列:列出约束条件及目标函数;(3)画:画出可行域;(4)移:将目标函数转化为直线方程,平移直线,通过截距的最值找到目标函数的最值;(5)解:将直线交点转化为方程组的解,找到最优解.2.求解整点最优解有两种方法:(1)平移求解法:先打网格,描整点,平移目标函数所在的直线l,最先经过的或最后经过的整点便是最优整点解;(2)调整优值法:先求非整优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解.四、基本不等式1.a,b都为正数,当且仅当a=b时,等号成立.2.使用基本不等式时要注意“一正,二定,三相等”.五、不等式常用结论1.不等式恒成立问题的转化方向:(1)分离参数,向最值转化;(2)向函数图象或转化.2.已知x>0,y>0,则有:(1)若乘积xy为定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2;(2)若和x+y为定值s,则当x=y时,乘积xy有最大值s2.六、函数的概念及其表示函数的三要素:定义域、值域、对应关系.常用的函数表示法:解析法、列表法、图象法.七、函数的性质1.函数解析式的常用求法:(1)待定系数法;(2)代换(配凑)法;(3)构造方程(组)法.2.函数定义域的常用求法:(1)根据解析式的要求:偶次根式的被开方数不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数大于零且不为1、零次幂的底数不为零等;(2)实际问题中要考虑变量的实际含义.3.函数值域(最值)的常用求法:(1)配方法(常用于二次函数);(2)换元法;(3)有界性法;(4)单调性法;(5)数形结合法;(6)判别式法;(7)不等式法;(8)导数法.4.函数的单调性:(1)定义法;(2)导数法;(3)复合函数法;(4)图象法.5.函数的奇偶性:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法.6.函数的周期性:(1)f(x+T)=f(x)(T0),周期是T;(2)f(x+a)=f(x+b)(ab),周期是|b-a|;(3)f(x+a)=-f(x)(a0),周期是2a;(4)若f(x+a)=(a0,且f(x)0),周期是2a;(5)f(x+a)=(a0且f(x)1),周期是4a.7.函数图象的画法:一是描点法,二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.八、指数函数和对数函数的图象与性质名称指数函数y=ax(a>0,且a1)对数函数y=loga x(a>0,且a1)0<a<1a>10<a<1a>1图象定义域R(0,+)值域(0,+)R定点(0,1)(1,0)单调性单调递减单调递增单调递减单调递增九、函数的应用1.求解数学应用题的一般步骤:(1)审题;(2)建模;(3)解模;(4)回归.2.常见的函数模型有一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数以及y=x+(a0)等.3.确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法;(2)零点存在的判定定理;(3)利用数形结合,尤其是那些方程两端对应的函数类型不相同时,多用数形结合法求解.十、导数及其应用1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.2.设函数y=f(x)在某个区间可导,如果f'(x)>0,则f(x)为增函数;如果f'(x)<0,则f(x)为减函数.3.可导函数在极值点处的导数值为零且左右导数值异号(左正右负极大值,左负右正极小值).4.可导函数在闭区间内的最值:将闭区间内的极值与端点处的函数值相比较,大的就是最大值,小的就是最小值.【考点聚焦】热点一:不等式的性质、解法和应用不等式的性质、简单不等式的解法、基本不等式是高考经常考查的内容,常见于选择题或填空题,以容易题、中档题为主,主要考查利用不等式的性质比较大小,解一元二次不等式、分式不等式,利用基本不等式求最值,求解过程中要注重对相关性质变形形式的理解和应用,同时注意思维的严谨性.(1)(2013湖北卷)已知全集为R,集合A=x|()x1,B=x|x2-6x+80,则ARB=().A.x|x0B.x|2x4C.x|0x<2或x>4D.x|0<x2或x4(2)已知两条直线l1:y=m和l2:y=(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记曲线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时,的最小值为. 【分析】(1)分别利用指数的运算性质、一元二次不等式解法,求出集合A、B.(2)将A,B,C,D四点的横坐标利用变量m表示出来,根据a,b为曲线段AC和BD在x轴上的投影长度,将利用变量m表示出来,然后利用基本不等式求出最值.【解析】(1)易知集合A=x|x0,B=x|2x4,故RB=x|x<2或x>4,从而ARB=x|0x<2或x>4.故选C.(2)在同一坐标系中作出y=m,y=(m>0),y=|log2x|图象如图所示,由|log2x|=m,得x1=2-m,x2=2m,|log2x|=,得x3=,x4=.依照题意得a=|2-m-|,b=|2m-|,=2m=.m+=m+-4-=,当且仅当m=时,取“=”号,()min=8.【答案】(1)C(2)8【归纳拓展】(1)一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇综合考查.解决此类问题可以根据一次、二次不等式,分式不等式,简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形求解,也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解.(2)基本不等式多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题.解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式,同时要注意基本不等式的使用条件.如本题中要能用拼凑法将m+(m>0)化成利用基本不等式求最值的形式.变式训练1(1)已知aZ,关于x的一元二次不等式x2-6x+a0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是().A.13 B.18 C.21 D.26(2)已知正实数a,b满足a+2b=1,则a2+4b2+的最小值为().A.B.4C.D.热点二:线性规划线性规划常出现在选择题或填空题中,主要考查:已知约束条件,求目标函数的最值;已知目标函数的最值,求约束条件或目标函数中的参变量的取值范围.有时在解答题中考查以实际问题为背景求目标函数的最值.一般为中档题,解决这类问题的关键是灵活应用数形结合思想.定义在R上的函数y=f(x)是减函数,且函数y=f(x+2)的图象关于点(-2,0)成中心对称,若s,t满足不等式组则当2s3时,2s+t的取值范围是().A.3,4B.3,9C.4,6D.4,9【分析】要求2s+t的取值范围,并且两个变量s,t不存在等量关系,需要利用线性规划求解.因此要根据函数的性质和题意挖掘出两个变量间的不等关系.【解析】因为y=f(x+2)的图象关于点(-2,0)成中心对称,所以函数f(x)关于原点对称.由得即因为函数y=f(x)是减函数,所以又2s3,所以设z=2s+t,作出不等式组对应的区域.由z=2s+t得s=-t+,平移直线s=-t+,由图象可知,当直线s=-t+经过点C(0,2)时截距最小,此时z=2s+t=4;由得即E(3,3),此时直线z=2s+t的截距最大,为z=2s+t=2×3+3=9.所以42s+t9.所以选D.【答案】D【归纳拓展】本题命题角度新颖,不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值,而是需要将所给不等式组进行合理转化后,约束条件才明朗.对于这