线代答案习题五-习题六答案
习题五1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：1）1124；2）123213336；3）001010100；4）310410482。 并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。解：1）11(2)(3)24，特征值2,3。当2时，1( 1,1)，故属于2的特征向量为11k（10k） 。当3时 ，2( 1,2)，故属于3的特征向量为22k（20k） 。 由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。2）123213(1)(9)336，特征值0, 1,9。当0时，1( 1, 1,1)，故属于0的特征向量为11k（10k） 。当1时，2( 1,1,0)，故属于1的特征向量为22k（20k） 。当9时，3(1,1,2)，故属于9的特征向量为33k（30k） 。 由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。3）201010(1)(1)10，特征值1,1。当1时，1(0,1,0)，2(1,0,1)。故属于1的特征向量为1122kk（12,k k不全为零）。当1时，3( 1,0,1)，故属于1的特征向量为33k（30k） 。 由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。4）2310410(1) (2)482，特征值1, 2。当1时，1( 3,6,20)，故属于1的特征向量为11k（10k） 。当2时，2(0,0,1)，故属于2的特征向量为22k（20k） 。 由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。2. 已知方阵A满足2320AAE，求A的所有可能的特征值。解：设是A的特征值，则有非零向量X满足AXX。于是22A XX，22(32 )(32)0AAE XX。因为X非零，所以2320。即A的特征值只能为1或2。3. 设是A的特征值，证明：1）2是2A的特征值，i（i为正整数）是iA的特征值；2）设( )f是多项式，则( )f是( )f A的特征值；3）如果A可逆，则1是1A的特征值。证明：1） 因为AXX， 则22()A XAXAXX。323()A XAXX，依此类推，iiA XX，即i是iA的特征值。2）由1）iiA XX（i为正整数），记01( )n nfaaa，则01()()( )n nf A Xa Ea Ea EXfX，即( )f是( )f A的特征值。3）如果A可逆，对AXX两边左乘1A有：1XA X。又可逆矩阵的特征值不为零（否则00EA，与A可逆矛盾）。故11XA X。4. 设1X和2X是A的属于两个不同特征值的特征向量， 证明12XX不是A的特征 向量。证明：由题意，设111AXX，222AXX，12，则12,XX线性无关。（反证）若12XX是A的特征向量，则有：1212()()A XXXX。从而1122()()0XX。因为12，所以12(),()不全为零，于是12,XX线性相关，矛盾。故12XX不是A的特征向量。5. 如果方阵A可逆，证明矩阵AB和BA相似。证明：因为1()AAB ABA，所以矩阵AB和BA相似。6. 设A与B相似，C与D相似。证明AC与BD相似。证明：因为A与B相似，C与D相似，故有可逆矩阵P与Q， 使得：1P APB，1Q CQD。于是11APBPCQDQ， 即AC与BD相似。7. 计算kA，其中142034043A。解：142034(1)(5)(5)043，特征值1,5, 5。当1时，对应的特征向量为1(0,0,1)；当5时，对应的特征向量为2(2,1,2)；当5时，对应的特征向量为3(1, 2,1)。故可取021012121P，有1505 12105120P，使得：1155APP。从而114 5( 5)2 52( 5)0 152 52( 5)54( 5)05( 5)4 5( 5)52 52( 5)5kkkkkkkkkkkkkkkAPP。8. 求x，y的值，使得矩阵A与B相似，其中11111xAxyy，000010002B。解：因为B的特征值为0,1,2，由A与B相似，可得00EA，10EA，20EA。即22()020xyxy，从而0xy。 9. 证明： 1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数； 2）正交矩阵的特征值的模等于1。证明：1）设A是实反对称矩阵，是A的特征值，则有0X，AXX。取共轭有AXX。考虑X AX，一方面X AXX X；另一方面，()X AXX A XAXXX X；于是()0X X。又因为0X，所以0X X。故0，即为0或纯虚数。2）设A是正交称矩阵，是A的特征值，则有0X，AXX。取共轭有AXX，再转置X AX AX。所以X XX A AXX X。因为0X，所以0X X。故1，即的模为 1 。 10. 判断下列矩阵是否为正交矩阵：1）221333 212333 122333A，2）11123 11122 11132A。解：1）因为A AE，故A为正交矩阵； 2）不是正交矩阵。11. 设,A B为正交矩阵，证明：1）1A与A为正交矩阵；2）AB为正交矩阵。证明： 1） 因为A为正交矩阵，所以A AE， 即1AA。 又()()AAAAEE，故1A与A为正交矩阵。2）因为,A B为正交矩阵，所以AAE，B BE。从而AAAAA AEBBBBB B，即AB为正交矩阵。12. 在4R中，求一单位向量与向量(1,1, 1,1), (1, 1, 1,1), (2,1,1,3)正交。解：设所求向量为1234(,)x xxx，则有12341234123400230xxxxxxxxxxxx。求得基础解系为(4,0,1, 1)。故(4,0,1, 1)k（k为任意数）。13. 求正交矩阵Q，使得1QAQ为对角形：1）111111111A； 2）222254245A。解：1）2111111(3)111EA，特征值0,3。当0时，1( 1,1,0)，2( 1,0,1)。当3时，3(1,1,1)。由施密特正交化，取11( 1,1,0) 2，21(1,1, 2) 6，31(1,1,1) 3。令111 263 111 263 21063Q，则1003QAQQ AQ。2）2222254(1) (10)245EA，特征值1,10。当1时，1( 2,1,0)，2(2,0,1)。当10时，31(, 1,1)2。由施密特正交化，取11( 2,1,0) 5，21(2,4,5) 45，31( 1, 2,2) 3。令2213 5451423545 520345Q，则11110QAQQ AQ。14. 设3阶方阵A的特征值为 1， 2， 3； 对应的特征向量为1(0,1,0)，2(1,1,0)，3(0,0,1)。求矩阵A。解：由题意，令010110001P，则有1123P AP。故1120021103003APP。15. 设3阶实对称矩阵A的特征值为 6和3 （二重根） 。 属于6的特征向量为3(1,1,1)，求A及3|3|AE。解：设123(,)Xx xx是实对称矩阵A属于特征值为 3的特征向量，则有1230xxx。故特征值为 3的特征向量1( 1,1,0)，2( 1,0,1)。令111101011P，则1341131416114APP。3|3|AE3313324|33|241226886213PPE。 提高题1. 设矩阵15310acAbca，1A，*A有特征值0，属于0的一个特征向量为( 1, 1,1)。求, ,a b c和0的值。解：因为1A，所以AAE，即1AA。由于0A，可得01A ，又1A，所以000(1)1( 2)1( 1)11cabcaA。解得：01322bca。2. 已知3阶矩阵A与3维列向量X，向量组X，AX，2A X线性无关，且满足3232A XAXA X。1）记2(,)PX AX A X，求3阶矩阵B，使得1APBP；2）计算行列式AE。解：1）因为112(,)P PPX AX AXE，所以1(0,1,0)P AX，12(0,0,1)P A X。由1APBP，可得1123(,)BPAPPAX A X AX112112000(,32)103012PAX PA XPAXPA X。2）111001134011AEPBPPPBE。3 设A是n阶方阵，记1 1( )nn nfEAaa，1,n是( )f的 n个根（重根按重数计算） 。证明：1）1111nnnaaa，称为方阵A的迹，记为()tr A；2）1( 1)( 1)nn nnaA。证明：因为1 11( )()()nn nnfEAaa，令0，则有1( 1)( 1)nn nnaA，即2）成立。又由于特征多项式EA中1n项由行列式定义知只能出现在11()()nnaa内，它的系数为111()nnaaa； 而1()()n中1n项的系数为1()n。 故1） 成立。4设1(,)nAaa，ia均为非零实数，BA A，求可逆矩阵P，使得1PBP为 对角阵。解：2 112 1nnnaa aBA Aa aa，它为实对称矩阵。 当0时，EA的秩为 1，所以0是0EB的1n重根，由上题 1）的结果知1n项系数为22 1()naa。故2 11 122 12 1()n n nnnaa aEBaaa aa。当0时，可得：221(,0)aa，1(,0,)nnaa。由于属于特征值22 1()naa的特征向量1(,)nXxx与上述向量组正交， 所以11jja xa x（2,jn） 。故11(,)naa。令23112110000000nnnaaaaaaPaaa，则122 100nP BPaa。 5证明上三角正交矩阵必为对角阵。证明：设上三角矩阵A正交，则1AA。一方面由第二章习题知1A也为上三角，另一方面A为下三角，故1AA既为三角又为下三角，从而为对角矩阵。6,A B是正交矩阵，且0AB。证明AB不可逆。证明：因为0AB，所以2220ABA B，即1A B。又,A B是正交矩阵，所以ABAB BAA BA BA BA B AB。即(1)0A BAB，从而0AB，AB不可逆。习题六 1. 写出二次型的矩阵表示形式：1）2224424fxyzxyxzyz；2）2227244fxyzxyxzyz；3）2222 1234121314232424264fxxxxx xx xx xx xx x。解：1）121( , , ) 242121xfx y zyz；2）112( , , )112227xfx y zyz；3）12 1234 3411211132(,)23101201xxfx xx xxx。 2. 化下列二次型为标准形：1）222 123232334fxxxx x；2）2222 1234121423342222fxxxxx xx xx xx x。解：1）二次型矩阵为200032023，200032(1)(2)(5)023。所以二次型为标准形为222 12325fyyy。2）二次型矩阵为1101111001111011，1101111001111011等于2(1)(1) (3)。所以二次型为标准形为2222 123423fyyyy。 3. 判断下列二次型的正定性：1）22234544fxyzxyyz；2）222 123121356444fxxxx xx x；3）121323226fx xx xx x。解：1）二次型矩阵为320242025， 又30，328024， 320242280025。所以二次型正定。2）二次型矩阵为522260204， 又50，5226026， 522260800204。所以二次型负定。3）取1(1,1,0)X，则1()20fX；又取2(0,1,1)X，则2()60f X。 所以二次型既不正定，也不负定。4. t为何值时，下列二次型是正定的：1）222 123122322fxxxx xtx x；2）222 12312132342106fxxxtx xx xx x。解：1）二次型对应的矩阵为210112012tt 。 又20，211011，2210 111122 012ttt 。所以当21102t ，即22t时二次型正定。2）二次型对应的矩阵为1543531tt， 又10，2144ttt，2154330105531tttt。因
