二次函数的应用（讲义）（解析版）-中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第 1 页 共 105 页 第 14 讲 二次函数的应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 题型 01 最大利润/销量问题 题型 02 方案选择问题 题型 03 拱桥问题 题型 04 隧道问题 题型 05 空中跳跃轨迹问题 题型 06 球类飞行轨迹 题型 07 喷泉问题 题型 08 图形问题 题型 09 图形运动问题 题型 10 二次函数综合问题 类型一 线段、周长问题 类型二 面积周长问题 类型三 角度问题 类型四 特殊三角形问题 类型五 特殊四边形问题 考点要求考点要求 新课标新课标要求要求 命题命题预测预测 二次函数的二次函数的应用应用 能用二次函数解决实际问题 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型;而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较 第 2 页 共 105 页 大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。用二次函数解决实际问题的一般步骤：用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.审：仔细审题，理清题意；2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果 第 3 页 共 105 页 顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论 利用二次函数解决利润最值的方法：利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。利用二利用二次函数解决拱桥次函数解决拱桥/隧道隧道/拱门类问题的方法：拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。利用二次函数解决面积最值的方法：利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。【注意】自变量的取决范围。利用二次函数解决动点问题的方法：利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算 利用二次函数解决存在性问题的方法：利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在 题型题型 01 01 最大利润最大利润/销量问题销量问题 【例【例 1 1】（2023 湖北武汉 校联考模拟预测）某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计发现，甲商品从开始销售至销售的第天总销量1（千克）与的关系如图1所示，且1是的二次函数乙商品从开始销售至销售第天的总销量2()，2=，其中是关于的一次函数，其图象如图2 第 4 页 共 105 页 (1)分别求出1，2与的函数关系；(2)甲、乙两种商品购进量相差多少；(3)分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少【答案】(1)1=2+30，2=32+60；(2)甲、乙两种商品购进量相差75kg(3)甲乙均在第1天销量最大，分别是29kg、75kg【分析】（1）依据题意，设1=2+，结合图象上的点代入计算可以得解；又是关于的一次函数，过(0，60)，(20，0)，从而先求出与的关系，再代入可以的2的关系式；（2）依据题意，分别依据顶点式求出两种商品的最大值，然后作差可以得解；（3）依据题意，设第天，甲、乙商品销量最大，表示出来后，求出最大值即可得解【详解】（1）解：由题意，设1=2+，,4+2=5616+4=104，1=2+30，又是关于的一次函数，过(0，60)，(20，0)，设=+60，0=20+60，解得=3，=3+60，2=32+60；第 5 页 共 105 页（2）解：由题意得，1=2+30=(15)2+225，1 0，当=15时，甲商品的最大值为225；又2=32+60=3(10)2+300，3 0，当=10时，乙商品的最大值为 300 乙 甲=75(kg)，即乙商品比甲商品多购进75kg 即甲、乙两种商品购进量相差75kg；（3）解：第天，乙商品销量：32+60 3(1)2+60(1)=3(2+1)+60=6+63，当=1时，乙=57 此时甲商品销量：2+30 (1)2+30(1)=(2+1)+30=2+31，当=1时，甲=29 答：甲乙均在第1天销量最大，分别是29kg、75kg【点睛】本题考查二次函数、一次函数的应用，关键是求出函数解析式【变式【变式 1 1-1 1】（2023 广东深圳 校考模拟预测）深圳某公司生产 A、B 两种玩具，每个 B玩具的成本是 A玩具的 1.5 倍，公司投入 1600 元生产 A 种玩具，3600 元生产 B种玩具，共生产玩具 1000 个，请解答下列问题：(1)A、B 两种玩具每个的成本分别是多少元？(2)某大学生自主创业，在网上销售 B玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高于进货价的50%试营销阶段发现：当销售单价是 8 元时，每天的销售量为 120 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 20 件求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)A、B 两种玩具每个的成本分别是 4 元和 6 元(2)当销售单价为 9 元时利润最大为 300 元 第 6 页 共 105 页【分析】（1）设 A 玩具每个的成本为 x元，B 玩具每个的成本为1.5元，根据“公司投入 1600 元生产 A 种玩具，3600 元生产 B 种玩具，共生产玩具 1000 个”列方程求解，注意分式方程需要验根；（2）设销售单价为 a 元，则销售量为：120 20(8)件，根据题意可得6 9，由题意列二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可【详解】（1）解：设 A 玩具每个的成本为 x元，B玩具每个的成本为1.5元 根据题意得：1600+36001.5=1000 解得：=4 经检验 =4是原方程的解 1.5=6 答：A、B 两种玩具每个的成本分别是 4 元和 6 元（2）解：设销售单价为 a元，则销售量为：120 20(8)件；由题可知 6且 6 50%6 6 9 根据题意得：=(6)120 20(8)=202+400 1680=20(10)2+320 20 0 当6 9 时，随的增大而增大，当销售单价为 9 元时利润最大为 300 元【点睛】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，找到题中的等量关系是解题的关键【变式【变式 1 1-2 2】（2023 安徽六安 校考二模）某厂家生产一种儿童电动玩具，3 月份前 4 天生产的该儿童玩具售价 y（元/个）和销量 t（个）的数据如下表所示：第 x天 1 2 3 4 售价 y/（元/个）30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第 5 天开始工厂对外调整价格为 28 元一个，据统计第 5 天以后儿童电动玩具销量 t（个）和第 x 天的关系为=2+50 100（5 20，且 x 为整数）(1)直接写出销量 t（个）与第 x天（前 4 天）满足的关系式，并且求出第 5 天以后第几天的销量最大，最大值为多少？第 7 页 共 105 页(2)若成本价为 20 元，求该工厂这些天（按 20 天计）出售儿童电动玩具得到的利润 W（元）与 x 的函数关系式，直接写出第几天的利润最大及其最大值【答案】(1)销量 t（个）与第 x天（前 4 天）满足的关系式为=20+80（1 4），第 5 天以后第 20天的销量最大，最大值为 500；(2)W（元）与 x 的函数关系式为=40(+4)2(1 4)8(25)2+4200(5 20)；第 20 天时工厂利润最大，最大利润为 4000 元【分析】（1）根据表格中数据，用待定系数法求出销量 t与第 x 天满足的关系式，并根据第 5 天以后儿童电动玩具销量 t（套）和第 x天的关系式，由函数性质求出最值；（2）根据单件利润 销售量总利润分段列出函数解析式，即可由函数性质得到答案【详解】（1）解：由表格可知，前 4 天销量 t与第 x天满足一次函数关系，设+把(1,100),(2,120)代入得：,+=1002+=120，解得,=20=80，销量 t与第 x天满足的关系式为=20+80（1 4）；第 5 天以后儿童电动玩具销量 t（个）和第 x天的关系为=2+50 100=（25）2+525，1 0，当 25时，t随 x的增大而增大，5 20，当=20时，t有最大值，最大值为(20 25)2+525=500，销量 t（个）与第 x天（前 4 天）满足的关系式为=20+80（1 4），第 5 天以后第 20 天的销量最大，最大值为 500；（2）解：设 y与 x 的函数解析式为=+，把(1,30),(2,32)代入得：,+=302+=32，第 8 页 共 105 页 解得,=2=28，y与 x的函数解析式为=2+28，当1 4时，=(2+28 20)(20+80)=402+320+640=40(+4)2，当=4时，W有最大值，最大值为40 (4+4)2=2560；当5 20时，=(28 20)(2+50 100)=8(25)2+4200，8 0,5 20，当=20时，W有最大值，最大值为8 25+4200=4000，第 20 天时 W的最大值为 4000 元 W（元）与 x的函数关系式为=40(+4)2(1 4)8(25)2+4200(5 20)；第 20 天时工厂利润最大，最大利润为 4000 元【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是找到等量关系求分段函数的解析式 题型题型 0 02 2 方案选择问题方案选择问题 【例【例 2 2】（2023 湖北咸宁 统考模拟预测）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在 15 天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件 20 元，设第 x天（0 15）每件产品的成本价是 y 元，y与 x之间关系为：=0.5+7，任务完成后，统计发现工人小王第 x 天生产产品 P（件）与 x（天）之间的关系如下图所示，设小王第 x天创造的产品利润为 W元 (1)直接写出 P与 x之间的函数关系；(2)求 W与 x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？第 9 页 共 105 页(3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为 288 元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得 20 元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小王能获得多少元的奖金？【答案】(1)=2+20(0 10)40(10 15)(2)=2+16+260(0 10)20+520(10 15)，小王第 8 天创造的利润最大，最大利润是324元(3)180元【分析】（1）结合图象，分段计算，当10 15时，=40，当0 10时，利用待定系数法即可求解；（2）根据题意有：=(20 )，结合（1）的结果和=0.5+7，即可求解，再分别求出当0 288时，即可获得奖励，当0 10时，令=288，即有2+16+260=288，解得=2或者=14，可得当2 288，即有：=20+520 28